第八章决策与对策模型ppt课件

8.决策与对策模型,工程、经济、管理、军事以及社会生活诸领域中经常遇到决策和对策问题.,每个方案有确定结果,要选出使决策目标达到最优的方案.,确定性决策,风险性、非确定性决策,每个方案结果是随机的,要选出使目标平均值达到最优的方案.,存在多个决策者并且他们的决策相互影响.,只一个决策者,非合作对策与合作对策,8.1多属性决策与层次分析法8.2风险性决策与非确定性决策8.3非合作对策8.4合作对策,8.决策与对策模型,8.1多属性决策与层次分析法,多属性决策（MADM）（MultipleAttributeDecisionMaking）,为一特定目的在备选方案中确定一个最优的(或给出优劣排序、优劣数值),而方案的优劣由若干属性(准则、特征、性能)给以定量或定性的表述.,多属性决策应用领域非常广泛,国家综合实力评价,大学排名榜,公司新厂址选择,个人工作岗位抉择,8.1多属性决策与层次分析法,层次分析法（AHP）（AnalyticHierarchyProcess）,针对经济、社会领域作比较判断时主观因素作用较大,准则和方案的重要性难以量化的情况.,Saaty于20世纪70年代提出,稍晚于多属性决策.,定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法.,在实际应用领域、处理问题类型、具体计算方法等方面,与多属性决策有不少类似和相通之处.,8.1.1多属性决策(MADM)的问题与要素8.1.2多属性决策的决策矩阵与属性权重8.1.3多属性决策几种主要的综合方法8.1.4层次分析法8.1.5多属性决策问题的求解8.1.6多属性决策和层次分析法应用中的几个问题,8.1多属性决策与层次分析法,8.1.1多属性决策(MADM)的问题与要素,对待选汽车作出综合评价,为选购确定决策.,汽车选购,确定3个属性(指标),经济适用、性能良好、款式新颖,对3个属性在汽车选购中的重要性有大致比较.,对待选汽车在每一属性中的优劣程度有基本判断.,基于实际背景提出几个案例:,申报晋升者根据在每项属性中所处等级对号入座取得分值,计算总分,根据总分确定能否晋升.,职员晋升,工作年限、教育程度、工作能力、道德品质,每一属性分为若干等级:年限、程度用入职时间和学历分级,能力、品质按照优、良、中划分.,确定4项属性在职员晋升中的权重，及每项属性中各个等级的分值.,确定4项属性(指标),对学生宿舍设计方案的评价（全国大学生数学建模竞赛2010D题）,学生宿舍的设计必须考虑以下问题：经济性：建设成本、运行成本和收费标准等.舒适性：人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等.安全性：人员疏散和防盗等.,附件给出4种比较典型的学生宿舍的设计方案.请你们用数学建模的方法就它们的经济性、舒适性和安全性作出综合量化评价和比较.,8.1.1多属性决策(MADM)的问题与要素,要素：1.决策目标、备选方案与属性集合2.决策矩阵3.属性权重4.综合方法,1.确定属性集合的一般原则：,全面考虑,选取影响力(或重要性)强的.,属性间尽量独立(至少相关性不太强),不选难以辨别方案优劣的(即使影响力很强).,若数量太多(如大于7个),应将它们分层.,尽量选可量化的,定性的也要能明确区分档次.,2.决策矩阵,以方案为行、属性为列、每一方案对每一属性的取值为元素构成的矩阵.,表示方案对属性的优劣(或偏好)程度.,可以定量的属性,只能定性的属性,3.属性权重,对目标影响力(或重要性)的权重分配,将决策矩阵与属性权重加以综合,得到最终决策的数学方法.,4.综合方法,要素：1.决策目标、备选方案与属性集合2.决策矩阵3.属性权重4.综合方法,8.1.2多属性决策的决策矩阵与属性权重,3个属性为选购准则价格X1,性能X2,款式X3,汽车选购,3个方案供决策选购的汽车型号A1,A2,A3,dijAi对Xj的取值(原始权重),3种汽车价格(万元):25,18,12,3种汽车性能(打分,10分满分):9,7,5,3种汽车性能:7,7,5,1）决策矩阵及其标准化,m个备选方案A1,A2,Am,决策矩阵,dijAi对Xj的取值,决策矩阵的获取,调查、量测各方案对属性的取值(定量,偏于客观).,决策者打分评定或用层次分析法的成对比较得到(定性,偏于主观).,8.1.2多属性决策的决策矩阵与属性权重,n个属性X1,X2,Xn,汽车选购,1）决策矩阵及其标准化,决策矩阵D的列各方案对某属性的取值(属性值).,各属性物理意义(包括量纲)不同,效益型属性,对费用型的属性值dij作倒数变换将全部属性统一为效益型.,性能X2,款式X3,费用型属性,标准化第1步：区分,价格X1,R的列最大值为1最大化,R的列和为1归一化,R的列模为1模一化,1）决策矩阵及其标准化,标准化第2步：对dij作比例尺度变换,当且仅当dij=0时才有rij=0,R标准化的决策矩阵,比例变换假定:属性的重要性随属性值线性变化.,2）属性权重的确定,w1,w2,wn属性X1,X2,Xn的权重,，,用层次分析法的成对比较得到.,偏于主观,根据决策目的和经验先验地给出.,信息熵法,偏于客观,熵信息论中衡量不确定性的指标，信息量的(概率)分布越一致，不确定性越大.,R归一化的每一列,各方案对Xj信息量的(概率)分布.,2）属性权重的确定,方案关于属性Xj的熵,rij=1/m时Ej=1.,属性Xj对于方案的区分度,rij只有一个1其余为0时Ej=0,rij(i=1,2,m)相差越大,Ej越小,Xj越能辨别优劣.,Xj的权重(归一化的区分度),汽车选购,2）属性权重的确定,3种汽车价格X1取值相差最大,款式X3取值相差最小.,w1最大,rij(i=1,2,m)的均方差可作为区分度Fj(m较大时).,w3最小,8.1.3多属性决策几种主要的综合方法,方案对目标的权重（综合取值）,1.简单加权和法(SAW,SimpleAdditiveWeighting),方案Ai对n个属性的综合取值为,对决策矩阵采用不同的标准化,得到的结果会不同.,2.加权积法（WP,WeightedProduct）,可直接用方案对属性的原始值dij,不需要标准化.,若效益型属性的权重取正值，则费用型属性的权重应取负值.,将SAW的算术加权平均改为几何加权平均：,3.接近理想解的偏好排序法(TOPSIS,TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution）,n个属性、m个方案视为n维空间中m个点的几何系统,每个点的坐标由各方案标准化的加权属性值确定.,决策矩阵模一化,以便在空间定义欧氏距离.,正理想解(最优方案)由所有最优加权属性值构成.,负理想解由所有最劣加权属性值构成.,定义距正、负理想解距离的数量指标:相对接近度.,按照相对接近度确定备选方案的优劣顺序.,汽车选购,统一为效益型的决策矩阵,用3种综合方法确定3种汽车的优劣顺序,属性权重取信息熵法结果:w=(0.5330,0.3293,0.1377)T,8.1.3多属性决策几种主要的综合方法,1.简单加权和法(SAW),2.加权积法(WP),v=(0.3162,0.3277,0.3562)T,v=(0.4847,0.5316,0.5639)T,v=(0.3067,0.3364,0.3569)T,汽车选购,用3种综合方法确定3种汽车的优劣顺序,3.理想解法(TOPSIS）,R模一化,vij=rijwj,正理想解,负理想解,Ai与v+距离,Ai与v-距离,S+=(0.2141,0.1470,0.1087),S-=(0.1087,0.0966,0.2141),相对接近度,C+=(0.3368,0.3966,0.6633),汽车选购,用3种综合方法确定3种汽车的优劣顺序,SAW(R归一化,最大化),WP结果差别很小,TOPSIS结果差别稍大.,优劣顺序均为A3,A2,A1,简单、直观的加权和法(SAW)是人们的首选.,SAW的前提属性之间相互独立,并且具有互补性.,8.1.4层次分析法(AHP),将决策问题自上而下地分为目标、准则、方案3个层次,直观地用一个层次结构图表示.,将二者综合得到方案对目标的权重.,确定各准则(属性)对目标的权重.,确定各方案对每一准则的权重.,确定某层n个元素X1,X2,Xn对上层元素Y的权重,A成对比较阵,aijXi和Xj对Y的重要性之比,价格X1,性能X2,款式X3对目标Y(汽车选购)的成对比较阵:,正互反阵,n个元素两两相互对比,对比采用相对尺度,1.成对比较矩阵和特征向量,1.成对比较矩阵和特征向量,成对比较的一致性,n个元素需做n(n1)/2次成对比较,要求全部一致是不现实、也不必要的.,AHP容许成对比较存在不一致，并确定了这种不一致的容许范围.,a12=2X1与X2重要性之比是2:1,X1与X3重要性之比应是4:1,a23=2X2与X3重要性之比是2:1,成对比较完全一致,1.成对比较矩阵和特征向量,假定X1,X2,Xn对Y的重要性之比已精确测定为w1:w2:wn,令aij=wi/wj,成对比较阵A满足,一致阵的各列均相差一个比例因子,一致阵A的代数性质：,任一列向量都是对应于n的特征向量.,秩为1,唯一非零特征根为n.,设,1.成对比较矩阵和特征向量,取权向量为w=(w1,w2,wn)T,一致阵A的任一列向量都是对应于n的特征向量.,如果成对比较阵A不一致(但在容许范围内),2.1-9比较尺度,Saaty提出19尺度:aij=1,2,9及1,1/2,1/9.,心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个.,用13,15,117,1p9p(p=2,3,4,5),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，19尺度较优.,便于定性到定量的转化：,Xi和Xj对Y重要性,aij,3.一致性指标和一致性检验,Saaty定义一致性指标:,界定成对比较阵(正互反阵)A不一致的范围.,n阶正互反阵A的最大特征根n，A是一致阵的充要条件为=n.,CI=0时A是一致阵,CI越大A越不一致.,比n大得越多,A与一致阵相差越大,用特征向量作为权向量引起的判断误差越大.,当CRE(2),最优决策是新建厂房净利润期望值为240（万元）-回答问题1,E(1)=100100.7+(2010)0.3400=240,E(2)=40100.7+10100.3100=210,8.2.2风险性决策,两方案在两状态下的收益(10年)和投资,敏感性分析,决策对估计概率的变化相当敏感-回答问题2,E(1)=10010p+(2010)(1p)400=1200p600,E(2)=4010p+1010(1p)100=300p,当p=2/3时E(1)=E(2)；当p2/3时E(1)E(2),8.2.2风险性决策,两方案在两状态下的收益(10年)和投资,敏感性分析,决策对估计概率的变化相当敏感-回答问题2,E(1)=10010p+(2010)(1p)400=1200p600,E(2)=4010p+1010(1p)100=300p,当p=2/3时E(1)=E(2)；当p0)；每个出行者的总出行成本相同,模型的建立与求解,t时刻出发的车辆在道路上的时间（等待时间）为T(t)=Q(t)/s,如果tt0(tt2)时,时刻t出发车辆迟到时间L(t)t+T(t)t*总成本C(t)T(t)L(t)(tt*)()/s)Q(t)因所有晚到者成本相同，dC/dt=0，利用Q(t2)=0得Q(t)(s/()(t2t),比较tt0时:Q(t)(s/()(t2t)tt0时:Q(t)(s/()(t2t)t0t*t1t2t*,模型的建立与求解,每辆车成本C(t)(n/s)/()(与和t*无关),n辆车出行的总成本是TC(n2/s)/(),模型的建立与求解,每辆车成本C(t)(n/s)/()(与和t*无关),所有车总等待成本(TTC),n辆车出行的总成本是TC(n2/s)/(),模型的分析与应用：拥堵费,集中决策：从t1到t2的任意时刻t,出发率等于瓶颈的通行能力s（累计的出发车辆数与OCD线重合）,固定的高收费：可达到最优但实际收不到费不公平(不同车成本不同),如何收拥堵费？是否可达到上述“系统最优”？,模型的分析与应用：拥堵费,早到成本：E(t)(t*tT(t)（当tt0）消除排队即T(t)=0,收费让每辆车成本相同,按时刻t收费(a:常数),取aC(t)(n/s)/(),则车成本不增,但p(t)0,较简单的收费（如分时段的固定收费）复杂路网(多出发地、多目的地、多瓶颈等)随机因素交通诱导、信息的作用交通经济学,模型的扩展,主要参考文献：,8.4合作对策与Shapley值,决策人无法达成有约束力的合作协议的前提下，讨论均衡的结果,决策人能够达成有约束力的合作协议的前提下，讨论公平合理的利益分配或成本分担,两类对策问题,军事、政治、经济、企业管理和社会科学中应用广泛,8.4.1合作对策问题的提出8.4.2n人合作对策与Shapley值8.4.3Shapley值方法在n人合作对策中的应用,8.4合作对策与Shapley值,例1联合建厂费用的合理分担,问题：应该怎样合理地分担总费用450呢？,3城镇筹建污水处理厂：单独建厂？联合建厂？,问题,单独建厂,1,2联合,1,3联合,2,3联合,合计500,3镇费用分别为200,150,200,费用为300,费用为330,费用为310,3镇联合,费用为450,合计550,合计480,合计510,实现大联合，节省总费用,8.4.1合作对策问题的提出,例1联合建厂费用的合理分担,3镇联合节省100，记分得的效益分别为x1,x2,x3,分析,费用分担效益分配,单独建厂,1,2联合,分别200,150,200,费用为300节省50,x1+x2+x3=100,x1+x250,0x350,同理,x1+x370,0x230,x2+x340,0x160,但满足以上条件的(x1,x2,x3)不唯一：(40,20,40),(30,30,40),(37.4,28.5,34.1),负担200-x1,150-x2,200-x3,例2加权投票中权力的度量,背景,“一人一票”显示投票和表决的公正.,股份制公司每位股东投票和表决权的大小由所占有的股份多少决定.,一些国家、地区的议会、政府的产生，由所属的州、县等各个区域推出的代表投票决定.,代表投票的权重取决于所代表区域的人口数量.,经济或政治机构权力的分配,加权投票,例2加权投票中权力的度量,假设一县5区(A,B,C,D,E)人口为12,4,2,1,1(万),每区一位代表按人口比例分配其投票权重为12,4,2,1,1.,将A区分成人口相等的2个子区A1，A2,每区代表的投票权重为6，6，4，2，1，1,决定结果的区域集合：A1,A2,A1,B,C,A1,B,D,改革,按简单多数规则(权重和超过总权重一半)决定投票结果.,A区代表是独裁者(能决定投票结果),其他代表都是傀儡.,权力:每位代表对投票结果的影响力,A1权:C权=6:2?,N,vn人合作对策，v特征函数,n人从v(I)得到的分配，满足,子集S称为联盟；v(S)联盟S的效益,8.4.2n人合作对策与Shapley值,公理化方法,由S(子集S中的元素数目)决定的权重,i对S的贡献(边际效益),n人合作对策与Shapley值,n个成员的全排列数,排在i之前的|S|1个成员恰是联合S中成员的排列数,例1联合建厂费用的合理分担,下面计算Shapley值,模型,合作对策,特征函数v,记费用c(1)=200，c(2)=150，c(3)=200，c(1,2)=300,c(1,3)=330,c(2,3)=310,c(1,2,3)=450,N=1,2,3,v()=0,v(1)=v(2)=v(3)=0v(1,2)=c(1)+c(2)c(1,2)=50v(1,3)=c(1)+c(3)c(1,3)=70v(2,3)=c(2)+c(3)c(2,3)=40v(N)=v(1,2,3)=c(1)+c(2)+c(3)c(1,2,3)=100,8.4.3Shapley值方法在n人合作对策中的应用,1/31/61/61/3,(1)(1,2)(1,3)(1,2,3),05070100,00040,0507060,050/670/6120/6,x1=40,x2=25,x3=35,1223,例1联合建厂费用的合理分担,总费用450分担：c(1)x1=20040=160，c(2)x2=15025=125，c(3)x3=20035=165,例2加权投票中权力的度量,记N=1,2,3,4,5,6,依次代表A1,A2,B,C,D,E,如何计算Shapl