化复数的其他形式为三角形式的方法

化复数的其他形式为三角形式的方法广州七中陈启华 一、思考过程复数的三角形式是指zr()这个形式，必须同时满足4个条件：1.模r0；2.三角函数是同角的余弦和正弦，虚数单位与正弦相乘；3. 余弦和正弦的系数都是+1；4.辐角可正可负，但辐角的主值必须满足0。由于运用复数的三角形式进行复数的乘、除、乘方、开方运算特别简便，又与三角函数、极坐标知识联系紧密，而且复数化为三角形式后，可以直接得到模与辐角，因此，常常要把不具备上述条件的复数化为三角形式。复数的其他形式主要有如下几种：点的形式P（a，b）；向量形式；整体形式z；代数形式abi；极坐标形式（r, ）等。对于点P（a，b）给出的复数，先写出其代数形式abi，再把代数形式化为三角形式；对于向量形式，先求出其代数形式z，再把代数形式化为三角形式；对于整体形式z给出的复数，可以直接设zr()。由此可见化复数的其他形式为三角形式的的关键是要熟练掌握将代数形式化为三角形式的方法。二、步骤格式1. 化复数的其他形式为代数形式abi；2. 用公式r求模;3. 由的终边经过点（a，b）求辐角。三、典型例题例1化为三角形式解：模，又由辐角的终边经过点（，）可知，在第三象限，因为，所以可取arcton，故的三角形式为cos(arcton)+isin(arcton)例2 化为三角形式（0）解：模，由辐角的终边经过点（cos，sin）且cos0可知，辐角在一、四象限或y轴上。tonton(1)当0时，0，即0，2|cos|2cos三角形式为2cos（cosisin）；(2) 时，得三角形式为（cosisin）；(3) 当2时，tonton，可取-，又2|cos|-2cos，三角形式为-2coscos（）isin（）；综上所述三角形式为： 例3 化下列复数为三角形式：（1）2（sin+icos）； （2）（sinicos）；（3）（sinicos）解：（1）原式cos（）sin （）2（cosisin）；（2）原式（sinicos）2cos()+isin()（cosisin）（3）原式（sinicos）2cos()+isin()（cosisin）四、注意事项三角形式是满足四个条件的一种“形式”，所以cos(arcton)+isin(arcton)不能用诱导公式再去化简，一旦用诱导公式再去化简，这个复数的形式就不是三角形式了。看三角形式是否满足四个条件要看本质，如rcos0，不要误以为有“-”号就是负数。五、其他方法已知复数具有r(cosisin)或r(sinicos)的形式，但不符合全部条件时，化为三角形式的方法，可以用以下口诀：（1）“变模内外乘”；（2）“变名必然要用奇”（3）“正四二应牢记”，如例的（）、（）。六、梯度训练1. i的模和辐角分别是 ；2.已知z，求的模和辐角的主值；已知z，求的三角形式；设复数zcosisin，（，），求复数的模和辐角；化cosisin为三角形式（0）；化sinicos为三角形式（）；化iton为三角形