向量的坐标表示和空间向量.ppt

A(a,0,0),B(0,b,0),O,x,y,z,P(a,b,c),C(0,0,c),Q(a,b,0),空間向量的坐標表示法,則點P在x軸、y軸、z軸上的投影點,分別為A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c)。,一、空間向量的坐標,1.向量坐標：,z軸上的單位向量,設點P(a,b,c)，,O,x,y,z,說明：,注意：,A(1,2,3),B(4,3,1),C(2,3,5),D(x,y,z),2.向量的長度：,3.向量的相等：,4.範例：空間坐標中，平行四邊形ABCD中，A(1,2,3)，,解：,B(4,3,1)，C(2,3,5)，求D點坐標。,則(x1,y2,z3)=(2,6,4),x=1，y=4，z=7。,故D(1,4,7)。,5.範例：空間坐標中，A(2,1,5)，B(8,3,2)，,解：,馬上練習：空間坐標中，P(2,4,3)，Q(7,4,9)，,Ans：13。,解：,6.範例：,解：,馬上練習：,Ans：,解：,7.向量的坐標運算：,證明：,證明：,8.範例：令A(1,6,0)，B(3,1,2)，C(4,4,5)為坐標空間中三點，,若D為空間中一點，,解：令D(x,y,z),求點D的坐標。,9.向量的平行：,證明：,10.範例：,解：,解：,馬上練習：,Ans：,o,o,11.範例：,解：,(菱形的對角線即為分角線),o,o,馬上練習：,Ans：,解：,O,P,m,n,A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),證明：設原點O(0,0,0)，P(x,y,z)，,二、分點公式：,1.分點公式：,注意：,(2)設ABC三頂點為A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)，,C(2,7,6),B(0,1,3),D,A,3,6,2.範例：ABC中，A(2,3,4)，B(0,1,3)，C(2,7,6)，,解：,C(2,2,1),B(5,2,2),A,E,o,o,k,3k,馬上練習：ABC中，A(1,1,1)，B(5,2,2)，C(2,2,1)，,Ans：,解：,求E點的坐標。,D,E,F,G,B,H,C,A,P,3.範例：一正立方體如圖，,解：,J,A,H,F,G,B,D,E,C,馬上練習：一平行六面體如圖，J為BCGF的中心，,Ans：,解：,三、空間向量的內積：,1.,說明：,分別是x、y、z軸上的單位向量，,注意：,解：,2.範例：設A(1,2,3)，B(2,3,5)，C(2,0,2)，,馬上練習：設P(2,1,4)，Q(4,4,5)，R(7,2,3)，,Ans：,解：,(1,3,0),(0,0,1),(1,3,1),H,F,B,x,z,y,C,G,A,P,E,D,3.範例：,且FPB=，求cos之值。,解：將長方體放在坐標空間中，,以D為原點。,(0,1,1),D,x,y,z,E,F,G,B,H,C,A,以D為原點。,馬上練習：右圖是一個邊長為1的正立方體，,且HBG=，求cos之值。,Ans：,解：將正方體放在坐標空間中，,(1,1,0),(0,0,1),A,C,B,H,4.範例：設A(2,1,2)，B(6,2,1)，C(3,1,4)，求：,解：,A,B,C,H,馬上練習：設A(4,3,2)，B(2,1,1)，C(2,2,6)，,Ans：,解：,一、柯西不等式：,1.,證明：,注意：,2.範例：已知三實數x，y，z滿足x2+4y2+9z2=3，,求x+2y+3z的最大值，及此時的x，y，z的值。,解：,所以x+2y+3z有最大值3，此時等號成立，,解：,馬上練習：已知三實數x，y，z滿足x2+2y2+3z2=6，,求x+2y+3z的最小值，及此時的x，y，z的值。,Ans：最小值6，此時x=1，y=1，z=1。,所以x+2y+3z有最小值6，此時等號成立，,x,y,z,3.範例：由周長12之三角形的三邊分別向外作正方形，如圖。,問當三角形為何種三角形時，三個正方形的面積和,會有最小值？又其值是多少？,解：設三角形的三邊長為x，y，z，,所求面積和=x2+y2+z2，且x+y+z=12，,故x2+y2+z2有最小值48，此時等號成立，,此時x=y=z=4，即為正三角形。,馬上練習：已知三實數x，y，z滿足x+y+z=6，,Ans：,求(x1)2+4y2+z2的最小值，及求此時的x，y，z的值。,解：,x,y,z,A,C,B,P,6,5,3,若P是ABC內