华师版七年级上第二章有理数知识要点

第二章 有理数1、 正数和负数知识点1 具有相反意义的量相反意义的量包含两层意思：一是“相反意义”，即意义相反，类似语文中的反义词；二是“量”，具有一定的数量。方法点拨：要找准具有相反意义的量，先要找出语句中是否含有一对具有相反意义的词。知识点2 正数和负数具有相反意义的量中，我们把其中一种意义的量规定为正，用小学学过的数表示；把与它意义相反的量规定为负，用小学学过的数（零除外）在前面加一个“”号来表示。理解正数与负数时应注意：1、 正数可以表示为“”，也可以省略“”。2、 “0”既不是正数，也不是负数。3、 用字母或式子表示的数判断其正、负时要特别小心。如不一定表示负数，不一定表示负数：当为负数时，表示正数；当、均为负数时，表示正数。4、 按数的大小来研究，正数大于0，负数小于0，0是正数与负数的分界线。方法点拨：判定一个数是正数还是负数时，不要简单地认为带正号的数是正数，带负号的数是负数。若表示一个有理数，在判定是正数还是负数时，首先要弄清本身表示的数是何种性质；当是正数时，表示正数；当是0时，表示0；当是负数时，表示负数。知识点3 正分数与负分数注意：（1）正确理解小数与分数的关系：并不是所有的小数都能化为分数，小数分为有限小数、无限循环小数与无限不循环小数，其中只有有限小数与无限循环小数能化为分数；（2）到目前为止，我们所学过的数（除外）都是有理数；（3）“0”既不是正数，也不是负数，但“0”是整数；（4）数的范围扩大为有理数后，奇数和偶数的外延也由自然数扩大为整数，能被2整除的整数是偶数，如：4，2，0，2，4，6，8，；不能被2整除的整数是奇数，如3，1，1，3，5，。因此，整数也可以分为奇数和偶数两类。知识点4 有理数的分类1、 按定义（或性质）分2、 按正负性（或大小）分注意：（1）要想分类结果不重不漏，必须对两种分类做到心中有数，整数与分数对应，正数与负数对应，零既不是正数也不是负数，它是整数也是有理数。（2）有时我们习惯上将“正有理数和零”称做非负有理数（即非负数）；将“负有理数和零”称做非正有理数（即非正数）；将“正整数和零”称做非负整数（即自然数）；将“负整数和零”称做非正整数。（3）数集的概念及两种常见的表示方法把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。数集的表示方法有：椭圆表示法；大括号表示法。注意：每个数集最后还应填上“”，表示除填入的数外，该数集还包括其他的数。2、数轴知识点1 数轴的概念及画法（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。数轴的定义包含三层含义：第一层：数轴是一条直线，可以向两方无限延伸；第二层：数轴上有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；第三层：原点的选定、正方向的取向和单位长度的确定，可以根据实际需要而定，通常取向右的方向为正方向。（2）数轴的画法一画：画一条直线（一般都是水平直线）；二定：确定原点，并用这一点表示数字为0；三选：选取正方向，用箭头表示（一般规定向右为正）；四统一：单位长度应统一；五标数：在原点左右两边依次标上对应的刻度。方法点拨：借助几何图形来理解代数概念，将数与形结合起来，这叫做数形结合，数轴就是将数与形有机结合起来的很好的工具。知识点2 数轴上的点与有理数的关系（1）所有的有理数均可以用数轴上的点表示，数轴的原点表示“0”，原点的右边表示正数，原点的左边表示负数。（2）数轴上，原点右边的点离原点越远表示的数越大，原点左边的点离原点越远表示的数越小。（3）数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可能是无理数（以后学习）方法点拨：不能说数轴上的点与有理数是一一对应的。知识点3 利用数轴比较有理数的大小（1）掌握有理数大小的比较法则：在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。比较法则：正数都大于零；负数都小于零；正数大于一切负数。（2）有理数大小的比较方法：先将要比较的数分别在数轴上表示出来；然后用“不等号”将它们连接起来。方法点拨：我们常用“0”表示正数，用“0”表示负数。知识点4 数轴上点的距离（1）对于数轴上任意一点，总有两个点到该点的距离相等，并且分别位于该点的左、右两侧。（2）数轴上两点之间的距离只与单位长度有关，与点的位置、数的正负无关。方法点拨：数轴上与某点距离相等的点有两个，不要漏掉一个，数轴上两点间的距离只与单位长度有关。3、相反数知识点1 相反数的意义方法点拨：相反数是符号相反，数字相同的两个数。在理解相反数的概念时，概念内容叙述的是一般情况，还要注意千万不能漏掉特例：“0的相反数为0”正确理解相反数的意义：相反数是成对出现的，是指两个数之间的特殊关系，它们不能单独存在，如不能说“2是相反数”；互为相反数的两个数之间的关系是相互的，如“的相反数是”，反之“的相反数是”；两个相反数仅仅是指符号不同，而符号后面的数是相同的，如：3和5不是相反数；相反数与相反意义的量是两个不同的概念。知识点2 相反数的性质（1）任何一个数都只有一个相反数。（2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。（3）互为相反数的两个数之和为0，反过来，和为0的两个数互为相反数。即、互为相反数=0，也可以表示为或方法点拨：熟练掌握相反数的代数意义就能正确理解相反数的性质。知识点3 相反数的表示方法（1）求正数的相反数在原数前面加“”号；（2）求负数的相反数，将原数前面的“”去掉；（3）0的相反数为0；（4）求字母或代数式的相反数，将代数式作为一个整体，在它前面加上一个“”号。方法点拨：求任何一个数的相反数都是在它前面加上一个负号即可。知识点4 多重符号的化简方法点拨：多重符号的化简其实较为简单：数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负。4、绝对值知识点1 绝对值的几何意义一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离，数的绝对值记作“”，读作“的绝对值”。方法点拨：一个数的绝对值的几何意义是在数轴上定义的，数的绝对值表示的是距离，距离只能为正数和0，故绝对值具有非负性。知识点2 绝对值的代数意义（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，零的绝对值为0，负数的绝对值是它的相反数。（2）式子表示：=或=知识点3 绝对值的求法求一个数的绝对值，应“先判再去”，即先判断这个数是正数、负数，还是0，再由绝对值的代数意义确定结论的符号，并去掉绝对值符号。注意：当这个数