(学生版)《证券投资学》第七专题衍生证券定价之四期权

1,证券投资学第七讲衍生证券定价之四：期权定价,西安交通大学王晓芳教授,2,期权(选择权)的概念,期权(选择权option)是赋予其持有者在规定的时间范围内有权利但无义务按事先双方约定的价格向另一方购买或出售一定数量某种资产（称为标的资产）的权利。,3,对于期权的买者来说，有按合约实施交易的权利而没有义务。对于期权的卖者来说，期权合约赋予他的只有义务而没有权利。期权价格或期权费，期权买者在合约生效时支付给期权卖者的费用作为给期权卖者承担义务的报酬,期权的概念,期权的权利、义务和期权价格,4,期权(option)分买权和卖权。买权是一种赋予选择权持有人权利的契约，简称买权。此契约规定，持有人有权在指定日期或指定日期前的任一天，以特定的价格购买特定的资产。也称看涨期权（call）。期权的购买者为获得这项权利需要支付一定的价格即期权费。,期权的概念,5,卖出选择权是其持有者在期权到期日或到期日前的任一时间以特定的价格出售特定资产的权力。简称卖权或看跌期权（put）。期权的购买者为获得这项权利也需要支付一定的期权费。,6,买卖行为的施行称做“选择权的执行”。特定的资产可以是股票、股价指数、债券、外币、贵金属、金融期货或农产品。我们提到的特定资产将专指股票，称为“标的证券”或“标的资产”。特定的价格又称为“执行价格”：或“敲定价格”若选择权仅可在到期日成交，则此种选择权属欧式选择权，可在到期日或之前成交，属于美式期权。选择权的市场价格称为选择权的价格。,7,按有无行权时间选择权可划分为欧式期权和美式期权：欧式期权没有行权时间选择权，只能在到期日行权。美式期权有行权时间选择权，可选择在到期日或到期前的一定时间范围内行权。,期权的分类,8,标准欧式期权的买方只能在到期日行权。标准美式期权的买方可选择在到期日或到期前的任何时间行权。,期权的分类,按权利特征划分按执行时间划分,9,标准欧式买权记T为到期日，X为执行价，S为标的资产的当前价格，ST为标的资产到期日的价格，c和p依次表示标准欧式买权和卖权的期权费。买权持有者在到期日T有权利但无义务以价格X从空头方卖入标的资产。标的资产到期日的市价为ST。买权持有者应如何行权呢？,标准欧式期权行权决策与损益,10,标准欧式期权行权决策与损益,11,标准欧式买权假设无交易成本。若STX持权者会行权，因为以X买入标的再以市场价ST卖出可获利STX。持权人获得收入。若STX，持权者不会行权，因为行权会遭受损失。综合这两种情况，可看出买权持有者到期回报可表达为：maxSTX,O即STX和O中的较大者。若考虑期权费c，则买权持有者的盈亏为：maxSTX,Oc=maxSTXc,c,标准欧式期权行权决策与损益,12,看涨期权空头的回报和盈亏：由于持权者的所得就是让权者的损失，故让权者到期回报为：maxSTX,O=maxXST,O，若考察期权费c，让权者的盈亏为：maxSTXc,c=maxXcST，c,标准欧式期权行权决策与损益,13,看跌期权多头的回报和盈亏：持权者在到期日当XST时行权，XST时不行权，到期回报为：maxXST,0若考虑期权费p，持有者的盈亏为：maxXSTp,p,标准欧式期权行权决策与损益,14,看跌期权空头的回报和盈亏：maxSTX,0若考虑期权费p，让权者的盈亏为：maxSTpX,p,标准欧式期权行权决策与损益,15,看涨期权S(当前价格)X（执行价）时称为实值期权，内在价值（立即行权带来的价值）大于零S=X时称为平价期权，内在价值等于零SS时称为实值期权，内在价值大于零X=S时称为平价期权，内在价值等于零XS时称为虚值期权，内在价值小于零,实值、评价与虚值期权,期权价值构成：期权价值等于时间价值加内在价值,16,标的资产到期日之前没有收益的标准美式看涨期权多头提前行权不合理其它情况下的标准美式期权提前行权可能是合理的。,标准美式期权行权时间决策,17,显而易见，欧式期权在到期日的价格很容易确定。因为从现在看在到期日，标的资产的价格会出现两种价格变动，或者上升或者下降。当上升高过执行价格时，显然其股票价格与执行价格的差额即为看涨期权在到期日的价格。若低于执行价格，买权执行者就会放弃执行，买权价格=0。,期权的价格,18,K=执行价格S*到期日标的股票之市场价格C*到期日时买进一股标的股票的选择权的价格。则有：S*K若S*KC*=0若S*K或C*=MAX（0，S*K）,19,常用赛马上的术语，当S*K，称该买权以“赌赢“收场，当S*K为赌输。若是卖权。执行者同样可选择是否行使权力。若P*代表卖权在到期日的价值则有：0若S*KP*=KS*若S*K或是P*=MAX（0,KS*）S*K为赌赢。,20,确定一买权或卖权在到期日的价格很容易，但在到期日之前要确定其价格却相对困难。为了确定期权的价格，1973年Black和Scholes发表了标的资产在行权前不付红利的欧式期权定价模型。其推导过程数学上复杂。在70年代末，财务学教授开始研究二项式方法，其目的在于简化Black和Scholes定价模型，同时也可以为美式期权定价。这两个模型是最基本的期权定价模型，下面分别介绍：,21,1、二项式期权定价模型（也称二叉树期权定价模型、二项分布期权定价模型）,二项式过程的描述二项式期权定价模型所依据的股票价格变动过程如下所示：usSds令S为标的资产的现行价格，假定过了一段时间后，该价格可能上升为us，也可能下跌至ds。可以把u理解为“当资产增值时的1+报酬率”，同样d是“资产贬值时的1-报酬率”。,22,假定对该资产有一单期的买权，执行价格为K，当它于下一期到期时，零与资产价格中最大者即为该买权的价值。现今的买权价格为C，这是我们试图要确定的。这种关系如下所示：Cu=max(0,us-k)CCd=max(0,ds-k),23,构造等价资产组合(复制现金流)构造等价资产组合的目的是通过无风险借/贷和标的资产的组合构造出一个与被定价期权具有相同现金流的组合。运用套利原理可知，期权的价值应等于等价资产组合的价值。具体的构造如下：,24,假定存在着一种无风险资产，今天对此资产投资的每一元，到了下一期即可得到R元。毛利率R实际上等于（1+利率），假如可以无限制地按R的毛利率借入或贷出。借入或贷出某个数量的无风险资产与一定量的标的资产，可以形成一个投资组合。这个投资组合的收益要恰好等于选择权的价值。（否则会出现套利）,25,令该资产组合含有h个单位的标的资产（风险资产），用B元投资的无风险资产，使股价在“上升”与“下降”两种状态下都满足：投资组合的价值=选择权价值，这样可复制出选择权。,Cd,26,由于由h个单位的风险资产加上B元无风险资产的借入(因为B是负数)组成的投资组合之收益恰好等于单期的买权。因此，一开始的成本也必须相等，亦即C=hs+B或C=(R-d)(us-k)/R(u-d),27,举例:设u=1.5，d=0.5，R=1.10，s=100，下一期的s可能升至150，也可能跌至50，且无风险利率为10%，K=100。为这个期权定价。根据公式:h=(us-k)/s(u-d)=(1.5100-100)/100(1.5-0.5)=50/100=0.5,B=-0.5(1.5100-100)/1.1(1.5-0.5)=-25/1.1=-22.73C=hs+B=0.5100+(-22.73)=27.27,也可以直接根据公式C=（R-d）（us-k）/R（u-d）得出,28,下面将分析扩展至超过一期以后才到期的买权，其中每一期都会有u和d的变动。同样地会有us和dS两种可能的价格。所以，第二期结束时可能出现的股价有三种。如下图:,29,30,而对应于上述资产价格的买权价格的树状图如上。尽管多期的价格树状图节点多，但并不会比单期问题更复杂。其差别在于:多期问题的求解，要在每次解一个节点时，重复一次类似公式。从价格树的右边开始，根据最终资产价格解出到期日买权价值，用公式求出前一期的买权价值。,31,关于二项式方法，有一个很重要的事实:无论想评估一个欧式买权、卖权，还是任何其它衍生的证券，所采用的分析过程都一样。例如，若想评估一个卖权，唯一差别就是把最终的卖权价值改为max0，k-s而不是max0，s-k，其余都一样。由公式可知，选择权的价值取决于最初的资产价格s、执行价格k、到期的期数，标的资产上升下降的幅度u，d，无风险利率R。,32,假设在期权有效期内股票价格的变动只是单步或二步二叉树图的形式，我们只能得到期权价格的一个非常粗略的近似值。在实际中应用二叉树方法时，通常将期权有效期分成30或更多的时间步，在每一个时间步，就有一个二叉树股票价格的变动。30个时间步意味着最后有31个末端股票价格，并且230即大约10亿个可能的股票价格路径。,33,2、Black和Scholes选择权定价理论及模型,BlackScholes提出的期权定价模型是用来对不付红利的欧式期权定价的。,34,布莱克舒尔斯期权定价公式,其中，,模型表示为：,S：标的资产的当前价值，T-t：距期权到期日的时间：标的资产价格的自然对数方差k：期权执行价格r：期权有效期间的无风险利率N（d1）与N（d2）分别为标的资产价格的自然对数小于d1的概率分布，和标的资产价格的自然对数小于d2的概率分布。,35,使用该模型对期权定价的步骤为：第1步：利用所需的数据求解d1，d2。第2步：利用标准正态分布函数的参变量，求出正态分布积分函数N（d1）与N（d2）的值。N（d1）为标的资产价格的自然对数小于d1的概率分布，N（d2）为标的资产价格的自然对数小于d2的概率分布。,36,第3步：计算出期权执行价格的现值,采用现值公式的连续时间形式：,37,第4步：运用Black-Scholes模型计算看涨期权的价值,Black-Scholes模型表明：期权价格是如下变量的函数：期权标的市场价格：标的价格越高，期权价格越高市场价格的波动性（标准差）：标的价格变动越大，期权价格越高期权执行价格：期权执行价格越高，期权价格越低距到期日期限：距期满日期限越长，期权价格越高无风险利率：无风险利率越高，期权价格越高,38,这里的变量：标的资产价格，期权执行价，期限都容易得到。无风险利率可以采用与期权具有相同到期日的政府债券的利率。只需要估计。可采用历史股价数据计算历史方差,39,BlackScholes模型只适用于看涨期权，而不适用于看跌期权。但看跌期权与看涨期权有着平价关系，通过这种关系，可用看涨期权的价格，推出相同标的物，相同剩余时间，相同执行价格的看跌期权的价格。看跌期权与看涨期权的平价关系，指看跌期权的价格与看涨期权的价格，须维持在无套利机会的均衡水平的价格关系上。,看跌期权价值模型,40,41,期权的价格由标的资产和金融市场相关的一些因素决定。,期权价格的决定因素,42,（1）标的资产的当前价值期权是一种价值取决于标的资产价值的资产。因此，标的资产当前价值的变化会影响该资产期权的价值。由于看涨期权提供了以固定价格购买标的资产的权利。因此标的资产当前价值的上升能够增加看涨期权的价值。看跌期权则恰好相反，随着标的资产当前价值的上升，期权的价值将减少。,1.与标的资产相关的因素,43,（2）标的资产价值变化的方差期权购买者获得了以固定价格买卖标的资产的权利。标的资产价值变动的幅度越大，期权的价值越高。这一点对看涨和看跌期权都是成立的。虽然风险（方差）增加导致期权价值上升这一点在直观上不易理解，但是我们应当注意到，期权与其他证券不同，期权购买者的损失最多不超过其购买期权所支付的价格，但却能从标的资产剧烈的价格波动中获得相当显著的收益。,44,（3）标的资产支付的红利在期权的有效期内，如果标的资产支付红利，则标的资产的价值就可能下跌。所以，该资产看涨期权的价值是预期红利支付额的递减函数，而看跌期权的价值是预期红利支付额的递增函数。,45,（1）期权的执行价格期权的一个关键特点就是执行价格。对于看涨期权而言，持有者获得了以固定价格购买标的资产的权利，期权的价值随着执行价格的上升而降低。而对看跌期权，因此持有者可以以固定价格出售标的资产，所以期权的价值随着执行价格的上升而上升。,2.与期权合约相关的因素,46,随着距离期权到期日时间的增加，看涨和看跌期权都将变得更有价值。距离到期日时间越长，标的资产价值可以变动的时间越长，因此两种类型的期权价值都会上涨。到期时间对期权的价值还存在附加的影响。对于看涨期权，购买者需要在到期日支付一个固定的价格，随着期权有效期的延长，这个固定价格的现值是递减的，从而增加了看涨期权的价值，对于看跌期权，在到期日以前执行价格卖出标的资产所获得收益的现值随着期权有效期的延长而减小。,（2）距离期权到期日的时间,47,期权有效期内的无风险利率期权购买者预先需要支付期权费，而期权费是存在机会成本的。该机会成本的大小取决于利率水平和距离期权到期的时间，因为期权的执行价格在执行期权时才需要支付，所以要计算执行价格的现值，进而导致利率在另一方面影响期权的价值。利率的升高将使看涨期权的价值上涨，使看跌期权的价值下降。,3.与金融市场相关的因素,48,美式期权可以在期权到期日之前的任何一天执行，而欧式期权只能在到期日执行。可以提前执行使得美式期权比其他条件相同的欧式期权价值更高，同时也导致估价的难度上升。利用一个补偿因子可以使美式期权运用欧式期权的定价模型进行估价。在大部分情况下，期权剩余有效时间的时间溢价使得提前执行并不是最优方案。,4.美式期权与欧式期权：与提前执行有关的因素,49,尽管提前执行通常来讲不是最优方案，但这条规则至少存在两个例外。一种情况是标的资产支付大量红利，从而减少了该资产和其看涨期权的价值。在这种情况下，如果期权的时间溢价小于由于红利支付而造成的资产价值的减少量，则看涨期权可以在除息日之前执行。另一情况是投资者同时持有标的资产和处于实值状态的该资产的看跌期权，如果利率水平较高，看跌期权的风险溢价可能小于提前执行所获得的收益加上利息收入。,50,下表总结了影响看涨期权和看跌期权价值的因素及其影响效果：,5.期权价值决定因素总结,51,由Black-Scholes模型计算的买权价值与用二项式定价模型计算的结果略有不同,当二项式的n(阶段)足够大时,结果将会趋向Black-Scholes模型计算的结果。,52,上述的BlackScholes模型没有考虑提前执行或红利支付的情况，而这两者都将对期权的价值产生影响。可以对模型进行一些调整，尽管结果并非完美无缺，但能够对期权价值进行部分修正。,模型的限制型及对其进行的调整,53,有收益资产的期权定价公式,（一）有收益资产欧式期权的定价公式当标的证券已知收益的现值为I（即书中的D）时，我们只要：用（SI）代替公式中的S，即可求出有收益资产欧式看涨期权的价格,54,如果是预期标的资产的红利