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2020/5/16,多自由度系统振动,姓名:何江波学院:机械工程学院邮箱：445875183,2,教学内容,拉格朗日方程多自由系统的无阻尼自由振动,3,无阻尼自由振动,其中，m，k分别为质量矩阵，刚度矩阵。k和F为位移向量和力向量。如果考虑阻尼，则还会存在阻尼矩阵c，则动力学方程为：,4,设系统为n自由度系统，振动方程为：,(1),m为n*n维质量矩阵，k为n*n维刚度矩阵，其中x为n维列向量。设方程的解为,(2),A为n维列向量。将式(2)带入式(1)，得:,(3),方程（3）为方程（2）的特征（本征）方程，因此线性系统自由振动的求解转化为相应特征值问题的求解。,无阻尼自由振动,5,通常情况下，m和k为正定矩阵。根据线性代数理论，将保证以上所有特征值大于或等于零。并且一般情况下，特征值彼此不相等，即所有特征值都是单根，那么对于每一个特征值都对应一个特征向量。将所有特征值开方，并按大小顺序依次排列，可以得到：,1,1,n代表了自由振动的固有频率。由此有结论，n自由度系统有n个固有频率。进一步，每个特征值（每个固有频率）对应于一个特征向量，因此有n个特征向量：,这样，我们得到了n个特征对,每一个特征对叫做一个模态(mode)，i称为第i阶模态频率(或固有频率),A(i)称为模态振型(modalshape)。,无阻尼自由振动,6,无阻尼自由振动,例:求图示系统的自然频率。,求：固有频率和模态向量。,7,解：利用拉格让日方程求出动力学方程：,无阻尼自由振动,8,4.3无阻尼自由振动，特征值问题,特征方程：,解得：,9,附加条件(特征方程)：,根据附加条件(特征方程)，可以得到：,设方程的解为,将其带入振动方程中，可以得到：,无阻尼自由振动,10,第二阶模态有1个节点，第三阶模态有2个节点，这由主振型内元素符号变号的次数可以判断出,取A3=1,并且将三个特征频率分别带入，便可以得到与之对应的三个模态向量：,无阻尼自由振动,11,模态图形：,第一阶模态：,第二阶模态：,第三阶模态：,无节点,一个节点,两个节点,无阻尼自由振动,12,无阻尼自由振动,将蓝色下划线两式相减：,对于r：,转置,左乘,假设有两个频率r和s，他们分别对应了一个模态向量,对于s：,左乘,13,无阻尼自由振动,若时，则得到：,代回转置式，得到：,上面两式表明模态向量关于质量矩阵和刚度矩阵正交,14,每个模态对应一个特解：,那么通
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