第04章__理想流体动力学.ppt

1,第4章,1.先建立理想流体动力学的基本方程欧拉运动微分方程,2.在一种特定的条件下积分可得到拉格朗日积分,3.另一特定的条件下积分可得到伯努利积分。,4.两个积分的物理意义和实际应用,5.导出动量及动量矩定理，及其应用。,第四章理想流体动力学,本章内容：,课堂提问：支持飞机升空，机翼的升力是怎么产生的？为什么在江河、海洋中游泳时不能在靠近船坞等岸边建筑物附近下水？,2,4-1欧拉运动微分方程式,欧拉运动微分方程式即理想流体动力学基本方程，欧拉于1775年由牛顿第二定律导出。,某瞬间在理想流体中棱边为dx,dy,dz的平行六面体，顶点A(x,y,z)处的,推导如下：,3,由牛顿第二定律：ii(=x，y，z）（4-1）,以方向为例：,表面力沿向的合力：,理想流体，各面上无切应力,加速度在方向的投影：,dvx,4,将以上各式代入（4-1）式中，并取，得如下第一式。同理可得其余的两式：,（4-2）,用矢量表示为：,Z,5,该方程适用条件:,理想流体。,对不可压缩流体，方程（4-2）有三个分量式，再加上连续方程式共四个方程组成一方程组，方程封闭，可求解四个未知函数x,y,z和。,若要使所求的x,y,z,是某个实际问题的解，还要满足所提问题的边界条件，初始条件。,6,4-2拉格朗日积分式,欧拉方程是非线性的，很难求得普遍条件下的精确解，只能求得某些特定条件下的解析解。,拉格朗日积分式有如下假设条件：,（1）理想不可压缩流体：const.,（3）运动无旋，则存在速度势函数，满足,所以有：,（2）质量力具有势函数：,7,因此,代入欧拉运动方程,有,8,上式移项可得下面第一式，同理可得另外两式,（4-3）,括弧内函数不随空间坐标(，)变化,只可能是时间的函数。,所以,（4-4）,若流体的质量力只有重力，取轴铅直向上，有U，故,gz,（4-4）,9,为书写简单，引入,将对，求偏导数，仍为速度的投影,引入后，式（-）可改写成：,（-5）,10,若流体的质量力只有重力，式（4-4）可写成：,(4-7),或,上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式。对于定常无旋运动，式（43）括弧内的函数不随空间坐标，和时间t变化，因此它在整个流场为常数。,11,(通用常数),对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的定常无旋运动，因，上式可写成,(通用常数),上式为上述条件下(理想，不可压，只有重力，无旋，定常流动)的拉格朗日积分式，是在整个流场都适用的常数，因此它在整个流场建立了速度和压力之间的关系。,(4-9),12,若能求出了流场的速度分布（理论或实验的方法），就能用拉格朗日积分式求流场的压力分布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流体与固体之间的相互作用力。,应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引的“船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为什么会产生“吸底现象”等等。,13,讨论：begin,1.如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流动且只有重力作用时，同一水平面上的两点，其速度和压力的关系如何？,2.两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引的“船吸现象”。,3.浅水航道行驶的船舶为什么会产生“吸底现象”,14,4-3伯努利积分式及其应用,伯努利积分是欧拉方程在定常运动沿流线的积分,假设条件：,（）理想不可压缩，质量力有势；,（）定常运动；,（）沿流线积分。,由（1），（2）有,15,则欧拉方程可写成,定常运动流线与轨迹重合，在轨迹上下式成立,（4）,16,式(1),(2),(3)的两边分别乘以式(4),(5),(6),以第一式为:,17,将(),(),(）三式相加，考虑到速度的模2x2y2z2，有:,括弧内沿流线上的全微分等于零，则沿流线一定是常数:,（11）,18,在重力场中，则沿流线:,或为,（12）,拉氏积分和伯氏积分虽在形式上相同，但不同之点有二：,l称为流线常数,19,()应用条件不同。拉格朗日积分只能用于无旋运动，伯努利积分既可用于无旋运动，又可用于有旋运动。,（）常数性质不同。拉格朗日积分中的常数在整个流场中不变，伯努利积分常数l仅仅在同一条流线上不变。或者说，拉氏积分在整个空间成立，而伯氏积分只在同一条流线上成立。,（3）对于无旋流动，伯努利积分就变成了拉格朗日积分。,20,为了工程上的应用，现将伯氏方程推广到有限大的流束。,渐变流动:流线近似平行，而且流线的曲率很小的流动，否则称为急变流动。,对于渐变流动：项可以取过水断面形心处的数值。,同时，伯努利积分中的速度近似地用过流断面上的平均流速U来代替，即用近似代替。,21,适用于有限大流束的伯努利方成为：,（13）,（）理想流体，定常流动；（）只有重力的作用；（）流体是不可压缩的；（4）.截面处流动须是渐变流。但1.2两断面间不必要求为渐变流动。,方程适用条件：,22,讨论：end,1.关于渐变流动（缓变流动）过流断面上的压力分布，是否与静止流体的压力分布相同？,2.为什么在急变流动的过流断面上，(Z+P/)项不保持常数？,23,4-4伯努利方程的意义,一、几何意义,z：长度量纲，流体质点或空间点在基准面以上的几何高度，又称位置水头。单位重量流体具有的势能。,p/：长度量纲，测压管中液面上升的高度，称为压力高度、或测管高度，或称压力水头、测管水头，记为Hp单位重量流体具有的势能。,V2/(2g)：具有长度的量纲，称为流速高度或速度水头，记为HV单位重量流体具有的动能。,24,一、几何意义图,25,结论：对于理想流体，定常运动，质量力只有重力作用时，沿流线有：几何高度、压力高度和流速高度之和为一常数。,Z+Hp+Hv=H,三个高度（水头）之和称为总水头。,其端点的连线总水头线为一条水平线。如下图所示。,26,27,二、能量意义(物理意义),伯努利方程表明单位重量流体的总机械量沿流线守恒。,：代表单位重量流体的位能，记为,：单位重量流体的压力能，记为,：单位重量流体的动能，记为,单位重量流体的总机械能：,28,伯努利方程也表明重力作用下不可压缩理想流体定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、动能和压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。对于体积为V的均匀流体，有,Z为体积为V的形心Z坐标,29,对于理想、不可压缩流体，定常运动，只有重力作用时，单位重量流体的位能，压力能和动能之和在流线上为一常数。因为在定常运动中流线与轨迹重合，所以同一流体微团在运动过程中单位重量的/单位体积的位能、压力能和动能之和保持不变。,在流体力学中：,称为动压,称为静压,水的空化现象；均匀流中的流体压力；,总压,30,伯努利方程的应用,实例一：小孔口出流（油箱漏油）,直桶容器的水位保持恒定，底部开小孔，孔口很小。小孔出流截面上的速度u可认为是均匀的，且不随时间变化。设直桶容器的横截面积为S1，小孔截面积为Sa，大气压力为pa，求小孔口的出流速度u？,31,对流线写出伯努利方程：,根据连续定理，有,S1u1=Sau,考虑到Hz1z，由以上二式可得出口流速:,当SaS1时，,实际流体具有粘性，故：,32,实例二：出口非定常出流（破舱进水）,整个容器分成两部分，中间隔板下方有小孔。在水位差的作用下，水从容器1流入容器2，直到容器2的水位和容器1的一样高为止。假设容器1的水位可以保持不变，求通过小孔灌满容器2需要的时间。,33,沿图中虚线所示的流线，从容器1的水面到小孔出口的伯努利方程,质量守恒定律，有：,34,由以上两式可解出,容器2液面上升速度为u2=dz2/dt，按质量守恒：,即：,35,将u代入上式，得：,积分上式，得：,即，,36,实例三：虹吸管,求虹吸管出口流速和最高点S处的压力？,列0-1两截面的伯努利方程,v1,37,列0-S两截面的伯努利方程,38,虹吸管,管径=150，1=3.3，2=1.5，z=6.8，不计能量损失，求虹吸管中通过的流量及最高点处的真空度。,解：取-为基准，列断面-和-的伯氏方程：,39,解得：,水流量,-和-断面列方程：,处真空度,40,实例二文丘里管（一种流量计）,应用伯努利方程的原理可制成各种测量流速或流量的仪器。文丘里管就是其中的一种。,和处的压力差由测压管读出来，为已知量。,令1和2分别为和截面上的平均流速,41,取管轴为基准列伯努利方程:,连续性方程:,联立得：,解出,流量,42,形管（内装水银）：,注意：这里没考虑流体粘性的影响，实际应用时按上式算得的还应乘上修正流量的系数，它的值约为0.98。,当然，也可以用下部的水银管高度差来计算：,代入到前面的Q中，可得Q的另一种形式,43,实例三汽化器,汽化器原理如图,空气由活塞的抽吸作用从自由大气中吸入,细管将汽油自油箱引来。,求:汽化器的真空度,解：取主管轴为基准，利用流管的伯努利方程：,取入口远前方为截面最小截面处为截面,44,截面：，0，,截面：，待求，,列伯努利方程：,汽化器的真空度为：,由连续性方程得:,45,流线上，管（测压管）的口部平行于流线，可测点的静压A，90弯管迎向水流，使其口部垂直于流线。,设流线近似为水平均匀流，则铅直方向上流体压力A按静水压力分布，即A,实例四：皮托管（用于测流速）,点:B（）,自由表面,V,46,管测得压力为静压A,管测的压力为总压B,在流线上列伯努利方程，考虑到点AVAVB点BVB,因此,测出总压B和静压A之差，可得出流速。,47,在上述问题中,BA（）,读出管1和管2的液面高度差h，即可算出流速。,代入到,可得,动压的概念：,48,实际使用的皮托管都是做成一根管子，也称普朗特管。,这时VAV，VB,处感受到静压处感受到总压,故该处流速：,开口,49,4-5动量定理及动量矩定理,一、动量定理,工程中常常需要求流体和物体之间的相互作用力的合力或合力矩。这时应用动量定理较为合适与方便。,理论力学中，动量定理是按拉格朗日观点对质点系导出的，即质点系动量的变化率等于作用在该质点系上的合外力，即,50,但是，为应用方便，需将动量定理转换成适合于控制体的形式（欧拉法）。,控制体：相对于所选坐标系，在流场中形状、大小任意，固定不动的空间。,控制面：控制体的边界（可以是流体，固体）。流体经过控制面流入、流出。通过控制面一般有流体质量、动量、能量交换，控制体内与控制体外的流体或固体存在作用力与反作用力。,51,对流体质点系，动量定理为：,雷诺输运公式：对于任意的物理量，任一瞬时，流体系统内物理量对时间的变化率，等于该瞬时控制体内物理量的当地导数与通过控制面的输运量之和，即,52,这就是建立在控制体上的欧拉型动量方程。,若流动定常，,则上式简化为：,即，,注意Vn,Vx的正负,53,对于不可压缩流束（渐变流）的定常流动，动量定理为：,流入控制体时的平均速度矢量,流出控制体时的平均速度矢量,流束的流量对理想流体,即，,控制面的选取：边界面、流面、速度及压力分布已知的面。,54,二、动量矩定理,对于控制体，动量矩方程为：,定常流动的动量矩方程：,在直角坐标系中，其分量形式为：,55,控制体内流体动量对时间的变化率+单位时间内流出控制面的总动量=外界作用在控制体和控制面上的合力。,动量方程与动量矩方程的表述：,控制体内关于某一点的动量矩的变化率+单位时间内流出控制面的总动量矩=外界作用在控制体上的力关于同一点的矩。,56,流体力学的动量定理和动量矩定理可用于理想流体，也可用于粘性流体。用于粘流时，只要在表面力项中把作用于控制面上的切向力包括进去即可。,注意：,57,实例一流体对弯管管壁的压力,如图所示一段弯管。以平均流速流入，流出。,设流体对管壁的作用力为,管壁对流体的作用为,取管壁和截面S1、S2组成的封闭面为控制面对此控制面内流体应用动量定理,58,因此：,如重力比其他各项小许多，则略而不计。,注意到,写成分量形式有,59,实例二射流对倾斜平板的冲击力,厚为o的二元流束以o向倾斜平板冲击，流速与平板的夹角为，求流体对平板的作用力。（不计重力）,设流体给平板的冲击力为,平板对流体之作用力,解：,显然有：,60,截面b0,b1,b2离原点足够远，可以认为截面上的流动参数是均匀分布的。,列立x方向和y方向的动量方程式，有：,61,另外，由连续性方程,不计重力影响，则由伯努利方程可得：,于是可得,联立上面方程，求解可得：,62,下面应用动量矩方程求合力作用点的位置，取O点为参考点。,写动量矩和力矩时，逆时针为正，顺时针为负。,动量矩方程：,代入上式，即得：,将,63,气体高速喷出时喷柱宽度为b0，其速度v0的方向先是与底部水平线成角,实例三气垫船基本原理,足够远处的射流宽度和喷口处一样，都是b0，速度也是v0，这是因为射流外边界上压力沿流线不变，不计重力影响，由伯氏方程可得到速度不变的结论，再由质量守恒得知宽度也不变。,，然后转为水平，向两侧沿地面喷出。船质量为M，底面积为S。试求气垫船的飞升高度h。,64,动量方程的分量式：,联立两式可解出飞高：,65,为喷出的流体动量，由风扇功率决定。,分析,气垫船重量越大，飞起的高度h越小；而底面积S增大时，h增大。所以气垫船的形状比较扁平以使S较大。,66,实例四滑行艇的基本原理,设滑行艇与水平面夹角为，水速0从右向左流动。水原来深度为0，流经滑行艇后分为两部分：,一部分宽度为，以速度2沿艇首喷出，,试求:作用在滑行艇上的力。,另一部分水深为，以速度1向艇尾流去。,67,自由表面上处处为大气压力0（艇底除外）由流线伯努利方程，可得：120,由连续方程知：0,尾部向后流出动量为：,控制面的动量变化：,68,艇体反力在方向分量为sin,首部向前在方向流出的动量为,首部来流的动量变化,水平方向动量方程：,69,:艇对流体的作用力。负值为其方向与图中方向相反。图示的正好就是流体对滑行艇的作用力。,所以,或写成,70,实例五洒水器,解：,旋转式喷水器的两臂长r10.3m，r20.15m，两喷口的直径均为d60mm，流量均为Q0.01m3/s。求:(1)若要阻止其旋转，需要加多大的扭矩M?(2)喷水器的旋转角速度?,水流相对于喷管的流速:,71,如果要阻止喷水器旋转，所需外加扭矩为：