《分离变量法》PPT课件

第三章分离变量法,1.叠加原理,本章介绍求解有界区域上的线性偏微分方程定解问题的基本方法分离变量法。其理论基础是Fourier级数展开，也称Fourier级数方法。在此之前，先介绍叠加原理,在物理学研究中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独（假设其他原因不存在）产生的效果的累加。这就是叠加原理。它对于用线性方程和线性定解条件描述的物理现象来说，都是成立的。,例如：若u1(x,t)是方程,的解，而u2(x,t)是方程,的解，则对于任意的常数C1、C2，函数,是方程,的解。,典型例子：声学中把弦线振动时所发出的复杂的声音分解成各种单音的叠加。,2傅立叶级数,若f(x)是以2l为周期的函数，在-l，l上满足Dirichlet条件，即在上只有有限多个第一类间断点和有限多个极值点，则在-l，l上f可以展开成Foureir级数,当f为奇函数时，,当f为偶函数时，,3常系数二阶线性常微分方程的通解,(1).当k1,k2为实数且k1k2时，,(2).当k1=k2=k时，,(3).当k1=,k2=,特征方程:,3-1有界弦的自由振动齐次弦振动方程的初边值问题,我们设想先求出足够多的变量分离形式的非平凡(即不恒为零)的特解u(x,t)=X(x)T(t)，然后把这些特解叠加得到问题的最终解以下我们详细介绍如何运用这一思想求解初边值问题：,3.1,设,将上式分离变量，有：,在(3.2)式中，左边仅是t的函数，右边仅是x的函数，左右两端要相等，只有等于同一个常数才可能。记这个常数为-(其值待定)，就得到：,带入方程(3.1)，得到：,Sturm-Liouville方程,情况A当0,=0以及0(k=1,2,)，满足(k-1/2)kk。因此，特征值问题(3.19)和(3.20)存在无穷多个固有值：,以及固有函数：,把前面得到的代入方程(3.18)可得,于是我们得到一列可分离变量的特解,由于方程(3.14)和边界条件(3.16)和(3.17)都是齐次的，所以可以利用叠加原理构造级数形式的解,以下的任务是利用初始条件(3.15)来决定常数Ak，为了使在t=0时u(x,t)取到初值(x)，应成立,为了确定系数Ak，须先证明固有函数系在0,l上正交。设固有函数Xn和Xm分别对应于不同的固有值n和m，即,以Xn和Xm分别乘以上面第一和第二式，相减后在0,l积分，利用Xn和Xm都满足边界条件(3.20)，就得到,由于n和m不等，故得到固有函数系的正交性：,于是在(3.23)两边乘以再进行积分，利用固有函数系的正交性得：,记,那么有,将其代入(3.22)式就得到了初边值问题(3.14)至(3.17)的形式解为,从(3.24)式来看，由于存在因子，因此级数(3.24)可以很快收敛。这个特点也使得解的存在条件要比波动方程更宽松,仅需(x)一阶连续可导且,例题,例2：求定解问题,解：没有现成的公式可套，直接采用分离变量法求解（1）分离变量：,则有：,即,于是原来的偏微分方程化为两个常微分方程,由