傅里叶级数展开

1. 函数的傅里叶级数展开 一一.傅里叶级数的引进傅里叶级数的引进 在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波), 它是形如的波,其中是振幅, 是角频率, 是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一 系列谐波的叠加表示出来.这就是说,设是一个周期为 的波,在一定条件下可以把它写成 其中是阶谐波, 我们称上式右端的级数是由所确定的傅里叶级傅里叶级 数数 tAsinA tf T 1 0 sin n nn tnAAtf 1 0 sincos n nn tnbtnaA tnbtnatnA nnnn sincossin n T 2 tf 二二. 三角函数的正交性三角函数的正交性 设是任意实数, 是长度为的区间,由于三 角函数是周期为的函数,经过简单计算, 有 利用积化和差的三角公式容易证明 还有 c 2, cc 2 kxkx sin,cos2 ,2 , 1 , 0sinsin , 0coscos 22 0 22 0 k kxdxkxdx kxdxkxdx c c c c 1 , 2 , 1; 0coscos 0sinsin 0cossin 2 2 2 llk lxdxkx lxdxkx lxdxkx c c c c c c 2 我们考察三角函数系 其中每一个函数在长为的区间上定义，其中任何 两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零， 而每个函数自身平方的积分非零。我们称这个 函数系在长为的区间上具有正交性具有正交性。 , 2 , 1 21 sin 2 2cos1 coscos 2 2 2 2 22 0 2 0 22 k dx kxdx dx kx kxdxkxdx c c c c c c 3 ,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx 2 2 2,1见 3见 三、傅里叶系数傅里叶系数 设函数已展开为全区间设的一致收敛的三角级 数现在利用三角函数 系数的正交性来研究系数与的 关系。将上述展开式沿区间积分，右边级数可 以逐项积分，由得到 即 又设 是任一正整数，对的展开式两边乘以 沿积分，由假定，右边可以逐项积分，由 和，得到 xf kxbkxa a xf k k k sincos 2 1 0 , 2 , 1, 0 kbaa kk xf , 1 0 0 2 2 a a dxxf dxxfa 1 0 n xfnxcos , 2,1 3 即 同样可得 因此得到欧拉-傅里叶公式 nn k kk anxdxa nxdxkxbnxdxkxanxdx a nxdxxf 2 1 0 cos cossincoscoscos 2 cos nxdxxfancos 1 nxdxxfbnsin 1 , 2 , 1 , 0sin 1 kkxdxxfbk , 2 , 1 , 0cos 1 kkxdxxfak 自然，这些系数也可以 沿别的长度为的区间来积 分。 以上是在已展开为一致收敛的三角级数的假定 下得到系数的表达式的。然而从欧拉-傅里叶公式的形 式上看，只要周期为的函数在区间上 可积和绝对可积（如果式有界函数，则假定它是 可积的。这时它一定式绝对可积的；如果是无界 函数，就假定他是绝对可积，因而也是可积的，这样， 不论在哪一种情形，都是可积和绝对可积了），就可 以按欧拉-傅里叶公式来确定所有的数，从而作 出三角级数 2 xf 2 xf, xf xf kk ba , 1 0 sincos 2 k kk kxbkxa a 我们称这级数是关于三角函数系 的傅里叶级数，而称为的傅里叶系数傅里叶系数，记为 xf,sin,cos, 1xx kk ba , xf 1 0 sincos 2 k kk kxbkxa a xf 四、收敛判别法四、收敛判别法 傅里叶级数的收敛判别法傅里叶级数的收敛判别法。设函数在上可 积和绝对可积 若在点的左右极限和都存在，并 且两个广义单侧导数 都存在，则的傅里叶级数在点收敛。当是 的连续点时它收敛与，当是的间断点（一 定是第一类间断点）时收敛于 xf, 1 0 sincos 2 k kk kxbkxa a xf xf x 0xf0xf x xfxxf x xfxxf xx 0 lim, 0 lim 00 xf xx xf xf x xf 00 2 1 xfxf 例1 在上展开函数为傅里叶级数。 例2 在上展开函数 为傅里叶级数。 例3 在上展开为傅里叶级数。 , xxf , xc xc xf 0 , 0, 2 1 2 , 0 xxf 例4 将在上展开为余弦级数。 例5 将以下函数展开为正弦级数 xxf, 0 lx x l x xf 2 1 , 0 2 1 0 ,sin 五、傅里叶级数的复数形式 傅里叶级数的阶谐波可 以用复数形式表示。由欧拉公式 得 如果记那么上面 的傅里叶级数就化成一个简洁的形式 n, 2 , 1sincosntnbtna nn iiii ii ee i ee i ee 22 1 sin 2 1 cos 1 0 sincos 2 n nn tnbtna a 1 0 222 n tin nn tin nn e iba e ibaa , 2 , 1, 00 ncibacibaca nnnnnn 这就是傅里叶级数的复数形式， 为复振幅为复振幅， 与 是一对共轭复数 tin n ne c 2 1 n c n c n c 六、收敛判别法的证明六、收敛判别法的证明 1、狄利克雷积分、狄利克雷积分 为了研究傅里叶级数的收敛性问题，我们必须把傅 里叶级数的部分和表示为一个特定形式的反常积 分狄利克雷积分。狄利克雷积分。 设在上可积和绝对可积，它的傅里叶级数 为 其中 xf, 1 0 sincos 2 k kk kxbkxa a xf , 2 , 1 , 0cos 1 kktdttfak , 2 , 1 , 0sin 1 kktdttfbk 傅里叶级数的部分和 由三角公式 当，有公式 1 0 sincos 2 k kkn kxbkxa a xfS dtkxktkxkttf n k 1 sinsincoscos 2 11 dtxtktf n k 1 cos 2 11 2 12 sincos2coscos 2 1 2 sin2 n n 0 2 sin 2 sin2 2 12 sin cos2coscos 2 1 n n 当时把右边理解为时的极限值，值一等式 也就成立。把它应用到的表达式中，得到 经过验证知道，被积函数是 的周期为的函数，可 以把积分区间换为，因此 作代换，得 0 0 xfSn dt xt xt n tfxfSn 2 sin2 2 12 sin 1 t 2 xx, dt xt xt n tfxfS x x n 2 sin2 2 12 sin 1 uxt du u u n uxfxfSn 2 sin2 2 12 sin 1 du u u n uxf 2 sin2 2 12 sin 1 0 0 du u u n uxfuxf 2 sin2 2 12 sin 1 0 上面的几种积分表达式都称为狄利克雷积分。狄利克雷积分。 xfSn 2、黎曼引理、黎曼引理 黎曼引理黎曼引理 设函数在区间上可积和绝对可积， 那么以下的极限式成立 局部性定理局部性定理函数的傅里叶级数在点的收敛和发 散情况，只和在这一点的充分领近区域的值有关。 uba, 0coslim, 0sinlim puduupuduu b ap b ap xf x xf 3、迪尼判别法及其推论、迪尼判别法及其推论 迪尼定理（迪尼判别法）迪尼定理（迪尼判别法） 设能取到适当，使由函 数以及点所作出的 满足条件：对某正数，使在上，为可积 和绝对可积，那么的傅里叶级数在点收于。 利普希茨判别法利普希茨判别法（地理判别法的一个推论） 如果函数在点连续，并且对于充分小的正数 在点的利普希茨条件成 立，其中皆是正数，且，那么的傅里 叶级数在点收敛于，更一般地，如果对于充 分小的成立 s xf x suxfuxfu2 h h, 0 u u xf x s xf x u x huLuxfuxf0 ,L1 xf x xf u Luxfuxf0 同前，那么的傅里叶级数在点收敛于 一个重要推论一个重要推论 如果在点有有限导数，或是有两个单 侧的有限导数 ,L xf x 2 00xfxf xf x xf u xfuxf xf u xfuxf xf u u 0 0 lim lim 甚至只是有更一般的有限导数 那么的傅里叶级数在点收敛于或 因为这时对于函数在点的的利普希茨条 件是成立的。 u xfuxf u xfuxf uu 0 lim, 0 lim 00 xf x xf 2 00xfxf xf x1 七、傅里叶级数的性质七、傅里叶级数的性质 一、一致收敛性一、一致收敛性 1设周期为的可积和绝对可积函数在比 更宽的区间上有有限导数，那么 的傅里叶级数在区间上一致收敛于。 2设周期为的可积和绝对可积函数在比 更宽的区间上连续且为分段单调函数，那 么的傅里叶级数在区间上一致收敛于。 2 xf ba, ba, xf xf ba, xf 2 xf ba, ba, xf ba, xf 二，傅里叶级数的逐项求积和逐项求导二，傅里叶级数的逐项求积和逐项求导 设是上分段连续函数，它的傅里叶级数 是 我们并不假定右端级数的和是甚至也不假定它收 敛，然而它却可以逐项积分，设和是上任 意两点，则有 三，最佳平方平均逼近三，最佳平方平均逼近 设是任意一个次三角多项式 xf, 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a xf xf cx , 1 0 0 0 sincos 2 n x nn x dtntbntacx a dttf xTn n n k kkn kxBkxA A xT 1 0 sincos 2 其中都是常数。又设是 上可积和平方可积函数，称 是用三角多项式在平方平均意义下逼近的