第二章 轴向拉压.ppt

第二章,拉伸、压缩与剪切,本章重点:1、截面法的应用及内力、应力的概念。2、轴向拉（压）问题的强度计算及变形。3、剪切和挤压的实用计算。,2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,2.4斜截面的应力,2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力,2.5材料拉伸时的力学性能,2.10拉伸、压缩超超静定问题,2.11温度应力和装配应力,2.6温度和时间对材料力学性能的影响,2.9轴向拉伸或压缩的应变能,2.7失效、安全因数和强度计算,2.8轴向拉伸或压缩时的变形,目录,2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例,2.12应力集中的概念,2.13剪切和挤压的实用计算,2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例,轴向拉压的受力特点,作用于杆件上的外力或外力合力的作用线与杆件轴线重合。,轴向拉压的变形特点,杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。,拉绳,2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,内力：指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。,内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。,1.截面法的基本步骤：截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力代替。平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）。,FN称为轴力。,拉伸的轴力规定为正，压缩的轴力规定为负。,几点说明,(1)不能在外力作用处截取截面。,(2)截面内力不一定等于其附近作用的外力。,(3)轴力不能完全描述杆的受力强度。,(4)轴力与截面尺寸无关。,轴力沿轴线变化的图形称为轴力图。,轴力图用杆的轴线作为横坐标，横截面的轴力值为纵坐标一般纵坐标正向指向向上。,例如前面例题的轴力图,F,解：1-1截面,2-2截面,3-3截面,例2图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、8F、4F、F的力，方向如图，试画出杆的轴力图。,解：求OA段内力FN1：设置截面如图,同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：,FN2=3FFN3=5FFN4=F,轴力图如右图,D,FD,轴力图的特点：突变值=集中载荷,轴力(图)的简便求法：,外力F相对指定截面而言，若外力的指向为离开相应的截面则为正，反之为负。,我们考察轴的内力时，不能简单沿用静力分析中关于“力的可传性”和“静力等效原理”,解：x坐标向右为正，坐标原点在自由端。取左侧x段为对象，内力FN(x)为：,q,ql,x,O,例3图示杆长为l，受分布力q=kx作用，方向如图，试画出杆的轴力图。,l,q(x),q(x),FN,x,O,两根材料相同但粗细不同的杆，在相同的拉力下，随着拉力的增加，哪根杆先断？,显然两杆的轴力是相同，细杆先被拉断。,这说明拉压杆的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。,两根材料相同但粗细也相同的杆，在不同大小的拉力下，随着拉力的增加，哪根杆先断？,显然两杆的轴力是不同，拉力大的杆先被拉断。,因此我们必须求出横截面任意点的应力，以反映杆的受力程度。,从工程实际的角度，把单位面积上内力的大小，作为衡量受力程度的尺度，并称为应力。,应力的基本单位是帕斯卡(Pa)；而在工程中常用兆帕(MPa),1MPa=1106Pa;吉帕(GPa),1GPa=1109Pa。,平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。,由平面假设，以及均匀性假设可知横截面上各点的内力是均匀分布的，也就是说横截面上所有各点具有相同的应力值。同时，该应力的的方向与分布内力的方向一致，即沿着横截面的法向，通常称为正应力，用s表示。,这就是轴向拉伸时横截面上的应力计算公式。其中FN为轴力，A为横截面面积。,拉为正,压为负,直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定的距离。,公式的应用条件：,Saint-Venant(圣维南)原理：,离开载荷作用处一定距离(为不超过杆的横截面尺寸范围)，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。,若F20kN，杆的直径d20mm，求杆中的应力值。,Pa,MPa,自由端受一集中力作用下对可以简化为压杆的一个模型。分析受力处受力影响情况(即Saint-Venant原理定理的证明)。此图变形情况已经被放大350倍。约束情况为上端自由，下端固定的情况，,例4一阶梯形立柱受力如图所示，F1120kN，F260kN。柱的上中下三段的横截面面积分别是A12104mm2,A22.4104mm2,A14104mm2。试求立柱的最大工作正应力。,解：首先作出立柱的轴力图,由于立柱是变截面，必须求解出各段的工作应力，经过比较方能确定最大正应力。,例4一阶梯形立柱受力如图所示，F1120kN，F260kN。柱的上中下三段的横截面面积分别是A12104mm2,A22.4104mm2,A34104mm2。试求立柱的最大工作正应力。,结果表明，最大工作应力为10MPa的压应力,解：,例5已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q=42kN/m，屋架中的钢拉杆为NO.22a型工字钢，试求刚拉杆内的正应力。,钢拉杆,4.2m,A,C,B,应力：,q,局部平衡求轴力：,查书附录的型钢表可以得到横截面面积,A42cm2,C,A,自横截面逆时针转到斜截面的a为正；反之为负。,由平衡方程：Aapa=FaF,则：,Aa：斜截面面积；pa：斜截面上内力。,由几何关系：,代入上式，得：,斜截面上全应力：,2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力,斜截面上全应力：,分解：,sa称为a斜截面上的正应力，,ta称为a斜截面上的切应力，,切应力符号规定如下：它绕着截面内侧某点有顺时针转动趋势者为正；反之为负。,反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。,当=0时，sa,max=s(横截面上存在最大正应力),当=90时，sa,min=0,当=0,90时，,2.材料拉伸时的力学性能,一、低碳钢拉伸时的力学性能,碳钢的分类,低碳钢：含碳量0.25%的结构钢中碳钢:含碳量0.250.55%的结构钢高碳钢:含碳量0.552.0%的结构钢,实验条件：,室温(20左右)、静载(载荷从零开始缓慢增加到力F),标准试件,万能试验机,电子试验机,试验设备,通过该实验可以绘出载荷变形图和应力应变图。,应力应变图可以消除横截面面积A与标距l对载荷变形图的影响。,(1)弹性阶段Ob,这就是胡克定律,它是胡克定律的适用范围,没有残余变形的范围,称为弹性模量,(2)屈服阶段bc,(3)强化阶段cd,是低碳钢的重要强度指标,是低碳钢的重要强度指标,(4)局部变形阶段de,延伸率：,截面收缩率：,是低碳钢的塑性指标,卸载后，重新加载，加载路线沿卸载路线，这样，材料的比例极限有所提高，但塑性降低。这种现象叫做冷作硬化,2.7失效、安全因数和强度计算,一、失效,失效：构件发生断裂或出现塑性变形。,失效条件,二、安全系数和许用应力,s：称之为许用应力。,n：称之为安全系数。,极限应力,（1）对载荷估计的准确性与把握性：如重力、压力容器的压力等可准确估计与测量，大自然的水力、风力、地震力等则较难估计。,为什么要引入安全系数n,（2）材料的均匀性与力学性能指标的稳定性：如低碳钢之类塑性材料组织较均匀，强度指标较稳定，塑性变形阶段可作为断裂破坏前的缓冲，而铸铁之类脆性材料正相反，强度指标分散度大、应力集中、微细观缺陷对强度均造成极大影响。,（3）计算公式的近似性：由于应力、应变等理论计算公式建立在材料均匀连续，各向同性假设基础上，拉伸（压缩）应力，变形公式要求载荷通过等直杆的轴线等，所以材料不均匀性，加载的偏心，杆件的初曲率都会造成理论计算的不精确。,（4）环境：工程构件的工作环境比实验室要复杂的多，如加工精度，腐蚀介质，高、低温等问题均应予以考虑。,三、强度条件,1、强度校核,2、截面尺寸设计,3、确定许可载荷,已知荷载、杆件的截面尺寸和材料的许用应力，即可计算杆件的最大工作正应力是否满足强度的要求。,已知结构的承受的荷载和材料的许用应力，即可计算杆件的最大工作轴力，并由此来确定横截面面积。,已知杆件的横截面尺寸和材料的许用应力，可根据强度条件计算该杆能承受的轴力。,例9,已知：s=160MPa，A1=300mm2，A2=140mm2,试校核强度。,解：,（1）作轴力图,（2）校核强度,故钢杆强度符合要求。,例10已知：q=40kN/m，s=160MPa,试选择等边角钢型号。,解：(1)计算拉杆的轴力,（2）选择等边角钢型号,因为型钢的面积为cm2,A3.54cm2,查型钢表,取A3.791cm2，即等边角钢型号为405,也可以取A3.486cm2，即等边角钢型号为454,如果取面积比计算的面积小，则必须满足5的要求。,练习,图示杆系中AC、BC杆的直径分别为d1=12mmd2=18mm，两杆材料均为Q235钢，许用应力s=170MPa，试按强度条件确定容许F值。,分析,取C节点为研究对象,2.8拉(压)的变形,一、轴向变形,轴向伸长：,纵向线应变：,引入比例常数E,EA为抗拉（抗压）刚度,这是胡克定律的另一表达式,这是胡克定律。E称之为弹性模量，表示材料在拉压时抵抗变形的能力，单位为Pa，工程中常用GPa。1GPa109Pa。,上式通常称为单向应力状态下的胡克定律。,它们的符号与FN和正应力的符号一致,胡克定律成立条件：材料在弹性范围内工作,二、横向变形、泊松比,横向线应变：,横向尺寸缩短量：,在拉伸情况下，是负值,也是负值,故与符号相反,在材料正应力没有超过比例极限时，横向线应变与纵向线应变之比为常数，用绝对值表示为,例6,已知：AB段A1400mm2BC段A2=250mm2,E=210GPa,求：AB、BC段的伸长量；C截面相对与B截面的位移和C截面的绝对位移以及杆的总伸长量。,变形：物体受力作用发生尺寸和形状的改变。,解：,杆的总伸长量,位移：指物体上的一些点、线、面在空间位置上的改变。,显然，两个截面的相对位移，在数值上等于两个截面之间的那段杆件的伸长。,因此，C截面与B截面的相对位移是,因A截面固定，所以C截面的位移就等于AC杆的伸长,例6,已知：AB段A1400mm2BC段A2=250mm2,E=210GPa,求：AB、BC段的伸长量；C截面相对与B截面的位移和C截面的绝对位移以及杆的总伸长量。,练习,已知：AAB=500mm2ABC=200mm2,E=210GPa,求杆的总伸长。,解：,（1）作轴力图,（2）计算变形,计算结果为负，说明整根杆发生了缩短,根据胡克定律,解：,取节点B点为研究对象,所以：,例8三杆的横截面面积为A1000mm2，弹性模量E200GPa，l=1m；AB为刚性杆。求A、B两点的位移。,解：取刚杆AB为研究对象,由平衡方程得,例8三杆的横截面面积为A1000mm2，弹性模量E200GPa，l=1m；AB为刚性杆。求A、B两点的位移。,2.9轴向拉伸或压缩的应变能,拉力所做的微功：,所以，拉力所做的功：,变形能：,变形比能：,2.10拉伸、压缩超静定问题,四个未知力，只有三个平衡方程。,一次静不定。,三个未知力，只有两个平衡方程。,一次静不定。,例12设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：l1=l2、l3=l；各杆面积为A1=A2=A、A3；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。,解：、平衡方程:,几何方程变形协调方程：,物理方程弹性定律：,补充方程：由几何方程和物理方程得。,解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:,一般超静定问题的解法,（1）画受力图，列平衡方程，确定静不定次数。,（2）根据约束条件，作位移变形图，找出变形协调条件。,（3）将力与变形的物理关系（胡克定律）代入变形协调条件，得到补充方程。,（4）联立平衡方程和补充方程，求出未知的约束反力和内力。,变形协调条件,由协调的变形条件可列出补充方程，谓之变形协调条件。,找出变形协调条件是解决静不定问题的关键。,静不定系统的变形是系统的，而不是单个的某一个杆件的变形，故为了维护其系统性，组成系统的各个构件的变形应该是统一的，协调的。,例13,已知：P，A，E。,求：AB两端的支座反力。,解：,（1）列平衡方程,（2）列变形协调条件,只有一个平衡方程，一次静不定,（3）列物理条件（胡克定律）,（4）建立补充方程，解出约束反力,由(a)和（d）联立可得：,解：（1）静力平衡方程,（2）变形协调方程,（3）物理方程,联立上面的方程可以求得,解：（1）静力平衡方程,（2）变形协调方程,（3）物理方程,联立补充和静力平衡方程可以求得,所以得补充方程,另解：因为AC为刚性杆，可以把力F移动到B得到一个力和力偶,在力F作用下，结构对称，荷载也对称的，即内力和位移都是对称的。,由此可以直接得出三杆轴力,在力m作用下，结构对称，荷载反对称的，即内力和位移都是反对称的。,由叠加法可以得,例16木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为1=160MPa和2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa和E2=10GPa；求许可载荷F。,F,几何方程,物理方程及补充方程：,解：平衡方程:,角钢面积由型钢表查得:A1=3.086cm2,解平衡方程和补充方程，得:,求结构的许可载荷：方法1:,所以在1=2的前提下，角钢将先达到极限状态，即角钢决定最大载荷。,求结构的许可载荷：,另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？若将木的面积变为25mm，又怎样？,结构的最大载荷永远由钢控制着。,方法2:,解：（1）静力平衡方程,（2）变形协调方程,（3）物理方程,联立上面的方程可以求得,分析,分析,2.11装配应力和温度应力,解：,（1）列平衡方程,求：杆横截面上的应力。,例17,已知：l=1.5m，A=20cm2E=200GPa,e=0.5mm,得：,（2）列变形协调条件,（3）列物理条件（胡克定律）,（4）建立补充方程，解出约束反力,这就是装配应力,解：,（1）列平衡方程,（2）列变形协调条件,（3）列物理条件（胡克定律）,（4）建立补充方程，解出约束反力,求：杆横截面上的应力。,例18,已知：l=1.5m，A=20cm2E=200GPa,T=40oC,得：,横截面应力为：,这就是温度应力,2.12应力集中的概念,1、生活中的例子包装袋上的小口、边缘做成锯齿状等,2、概念杆件在圆孔、缺陷等截面发生突变处，局部应力显著增高，这一现象称为应力集中,3、应力集中系数,用ANSYS计算的结果,2.13剪切和挤压的实用计算,平键,特点：可传递一般力，可拆卸。,特点：可传递一般力，不可拆卸。如桥梁桁架结点处于它连接。,特点：传递扭矩。,1、受力特征,构件上受到一对大小相等，方向相反，作用