四点共圆问题-(数学竞赛)

四点共圆问题 四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具，四点共圆这类问题一般有以下两种形式：（1） 证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆；（2） 通过某四点共圆得到一些重要结论，进而解决问题下面给出与四点共圆有关的一些基本知识（1） 若干个点与某定点的距离相等，则这些点在一个圆上；（2） 在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆；（3） 若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆；（4） 若点在线段的同侧，且，则四点共圆；（5） 若线段交于点，且，则四点共圆；（6） 若相交线段上各有一点，且，则四点共圆。 四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题，而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介。例1、已知是圆内接四边形，过点作的垂线，垂足分别为点求证：平分例2、给定锐角，以为直径的圆与边上的高线及其延长线交于点，以为直径的圆与上的高线及其延长线交于点。证明：四点共圆。例3、在等腰中，为底边上任意一点，过点做两腰的平行线分别与交于点，又点是点关于直线的对称点。求证：点在的外接圆上。分析： G例4、是圆内接四边形，是圆的直径，与的交点为，点在的延长线上，连结，点在的延长线上，使得，点在的延长线上，. 证明：四点共圆。例5、在的边上分别取点，使得。求证：例6、在梯形中，且，求的长例7、在锐角中,是高，是上一点，联结并延长交于点，联结并延长交于，已知四点共圆，问：点是否一定是的垂心？证明你的结论例8、已知的重心关于边的对称点是，证明：四点共圆的充要条件是例9、若过一点的三个圆的三个不同的交点共线，则三个圆的圆心和它们的公共点共圆。 例10、已知凸五边形中，且满足，求证：五点共圆例11、已知和相交于，延长交于，延长交于，试证：是的内心课后思考题：1、设是等腰底边的中点，过两点（但不过点）任作一圆交直线于，联结，交此圆于点，求证：2、为的直径，点在上且，为上一点，位于点之间，直线与的延长线交于点，过作直线与垂直，交直线于点，求证：AHPCEQBD3、如图，在中，与交于点，为边的中点，过点作，垂足为，求证：4、凸四边形的内切圆，切边的切点分别为，联结，点分别为的中点，求证：四边形为矩形的充分必要条件是四点共圆5、如图，在锐角ABC中，ABAC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PEAC，垂足为E，做PFAB，垂足为F。O1、O2分别是BDF、CDE的外心。求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是ABC的垂心。（2007全国高中联赛）四点共圆问题 四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具，四点共圆这类问题一般有以下两种形式：（3） 证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆；（4） 通过某四点共圆得到一些重要结论，进而解决问题下面给出与四点共圆有关的一些基本知识（7） 若干个点与某定点的距离相等，则这些点在一个圆上；（8） 在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆；（9） 若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆；（10） 若点在线段的同侧，且，则四点共圆；（11） 若线段交于点，且，则四点共圆；（12） 若相交线段上各有一点，且，则四点共圆。 四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题，而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介。例1、已知是圆内接四边形，过点作的垂线，垂足分别为点求证：平分证法一：利用四点共圆从而得出然后得出进而证明证法二：利用四点共圆得出四点共圆进而有四边形为矩形例2、给定锐角，以为直径的圆与边上的高线及其延长线交于点，以为直径的圆与上的高线及其延长线交于点。证明：四点共圆。证法一：设交于点则,又易知四点共圆则故四点共圆。证法二：利用射影定理有，；又易知四点共圆则,又,故，故四点共圆证法三：，；而；以下同证法二例3、在等腰中，为底边上任意一点，过点做两腰的平行线分别与交于点，又点是点关于直线的对称点。求证：点在的外接圆上。分析：此题即证明四点共圆，于是只需证明。证法一：先证、；由此 ；从而点在的外接圆上。G例4、是圆内接四边形，是圆的直径，与的交点为，点在的延长线上，连结，点在的延长线上，使得，点在的延长线上，.证明：四点共圆。提示：由及得，又；故故于是四点共圆例5、在的边上分别取点，使得。求证：提示：四点共圆；再又得；于是说明：和是对线段的两个视角，当点在的两侧时四点共圆；当点在的同侧时，常常做对称点，然后便有四点共圆了，这会给解题带来极大的方便例6、在梯形中，且，求的长提示：设； ；由四点共圆得；设；则；又；故；因此；故；又由角平分线性质；故可解得例7、在锐角中,是高，是上一点，联结并延长交于点，联结并延长交于，已知四点共圆，问：点是否一定是的垂心？证明你的结论提示：一定是的垂心；在延长线上取一点使得，再证明重合例8、已知的重心关于边的对称点是，证明：四点共圆的充要条件是提示：四点共圆则四点共圆，在上取一点使得四点共圆，再证明四点共圆然后便得出，反之，在延长线上取一点使得,然后证明四点共圆即可例9、若过一点的三个圆的三个不同的交点共线，则三个圆的圆心和它们的公共点共圆。提示：如图， 故四点共圆例10、已知凸五边形中，且满足，求证：五点共圆提示：如图， 于是四点共圆；故于是四点共圆；于是五点共圆例11、已知和相交于，延长交于，延长交于，试证：是的内心提示：如图，故，四点共圆，同理，故五点共圆，于是于是是的内心1、设是等腰底边的中点，过两点（但不过点）任作一圆交直线于，联结，交此圆于点，求证：2、为的直径，点在上且，为上一点，位于点之间，直线与的延长线交于点，过作直线与垂直，交直线于点，求证：AHPCEQBD3、如图，在中，与交于点，为边的中点，过点作，垂足为，求证：提示：连结，易知注意到所以从而，易知四点共圆，所以,从而又，所以，故4、凸四边形的内切圆，切边的切点分别为，联结，点分别为的中点，求证：四边形为矩形的充分必要条件是四点共圆提示：如图，易知点在上，且，又由射影定理得，其中为内切圆半径，同理,于是，所以四点共圆，所以，类似的，将这四个式子相加得，所以四点共圆的充要条件是四点共圆，而熟知一个四边形各边中点围成的四边形是平行四边形，平行四边形为矩形的充要条件是该四边形的四个顶点共圆，由此四边形为矩形的充分必要条件是四点共圆5、如图，在锐角ABC中，ABAC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PEAC，垂足为E，做PFAB，垂足为F。O1、O2分别是BDF、CDE的外心。求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是ABC的垂心。（2007全国高中联赛）证明：连结BP、CP、O1O2、EO2、EF、FO1。因为PDBC，PFAB，故B、D、P、F四点共圆，且BP为该圆的直径。又因为O1是BDF的外心，故O1在BP上且是BP的中点。同理可证C、D、P、E四点共圆，且O2是的CP中点。综合以上知O1O2BC，所以PO2O1=PCB。因为AFAB=APAD=AEAC，所以B、C、E、F四点共圆。充分性：设P是ABC的垂心，由于PEAC，PFAB，所以B、O1、P、E四点共线，C、O2、P、F四点共线，FO2O1=FCB=FEB=FEO1，故O1、O2、E、F四点共圆。必要性：设O1、O2、E、F四点共圆，故O1O2E+EFO1=180。由于PO2O1=PCB=ACBACP，又因为O2是直角CEP的斜边中点，也就是CEP的外心，所以PO2E=2ACP。因为O1是直角BFP的斜边中点，也就是BFP的外心，从而PFO1=90BFO1=90ABP。因为B、C、E、F四点共圆，所以AFE=ACB，PFE=90ACB。于是，由O1O2E+EFO1=180得(ACBACP)+2ACP+(90ABP)+(90ACB)=180，即ABP=ACP。又因为ABAC，AD