几何原本-第一卷几何基础

Hanjingshanxi jincheng 几何原本 【古希腊】欧几里德 第一卷 几何基础 Hanjingshanxi jincheng 定义 定义1.1、点：点不可以再分割成部分； 定义 1.2、线：线是无宽度的长度； 定义1.3 、线的两端是点； 定义1.4、直线：直线是沿着一定方向及其相反 方向无限铺张； 定义1.5、 面：面只有长度和宽度； 定义1.6、 一个面的边是线； Hanjingshanxi jincheng 定义 定义1.7、 平面：平面是直线自身的均匀分布； Hanjingshanxi jincheng 定义 定义1.8、 平面角：平面角是两条线在一个平面 内相交所形成的倾斜度； 定义1.9、 直线角：含有角的两条线成一条直线 时，其角称为直线角（平角）； 定义1.10、 直角与垂线：一条直线与另一条直线 相交所形成的两邻角相等，两角皆称直角，其中 一条称另一条的垂线； 定义1.11、 钝角：大于直角的角； Hanjingshanxi jincheng 定义 定义1.12、 锐角：小于直角的角； Hanjingshanxi jincheng 定义 定义1.13、 边界：边界是物体的边缘； 定义1.14、 图形：是一个边界或几个边界围成 的； 定义1.15、 圆：有一条线包围着的几何图形，其 内有一点与这条线上任何一个点所练成的线段都 相等； 定义1.16、 这个点叫做圆心； 定义1.17、 直径是穿过圆心、端点在圆上的任意 线段，该线段将圆分成两部分； Hanjingshanxi jincheng 定义 定义1.18、 半圆：是直径与被它切割的圆弧围成 的图形，半圆的圆心与原圆心相同； Hanjingshanxi jincheng 定义 定义1.19、 直线图形是由线段首位顺次相接围成 的。 三角形是由三条线段围成的， 四边形是由四条线段围成的， 多边形是由四条以上线段围成的； 定义1.20、三角形中，三条变相等称为等边三角 形，两条变相等称等腰三角形，三边都不相等称 不等边三角形； Hanjingshanxi jincheng 定义 定义1.21、 三角形中，有一个角为直角的叫直角 三角形，有一个钝角的称钝角三角形，三个角都 为锐角的称锐角三角形； Hanjingshanxi jincheng 定义 定义1.22、 四边形中，四条变相等并四个角为直 角的称正方形， 四个角为直角但边不完全相等的叫长方形， 四边相等，角不是直角的叫菱形， 两组对边分别相等的叫平行四边形， 一组对边平行，另一组对边不平行叫梯形； Hanjingshanxi jincheng 定义 定义1.23、 平行直线：在同一个平面内向两端无 限延长不能相交的直线 Hanjingshanxi jincheng 公设 1.1、过两点可以做一条直线； 1.2、直线可以向两端无限延伸； 1.3、以定点为圆心及定长的线段为半径可以做 圆； 1.4、凡直角都相等； 1.5、同平面内同一条直线和另外两条直线相交， 若在直线同侧的两个内角之和小于180度，则这 两条直线经无限延长后 在这一侧一定相交。 Hanjingshanxi jincheng 公理 1.1、等于同量的量彼此相等； 1.2、等量加等量，其和仍相等； 1.3、等量减等量，其和仍相等； 1.4、彼此能够重合的物体是全等的； 1.5、整体大于部分。 Hanjingshanxi jincheng 命题1.1 命题:已知一条线段可以做一个等边三角形 设： AB为已知线段。 要求：以线段AB为边建立一个等边三角形。 做法：以A为圆心AB为半径做圆BCD；再以B为圆心，AB 为半径做圆ACE；两圆相交与C点，连接CA，CB。 Hanjingshanxi jincheng 命题1.2、 命题:从一个给定的点可以引一条线段等于已知线 段 设： A为给定的点，BC为给定的线段 求作： 以A为端点的线段等于BC 做法：连接A，B两点成线段AB并由此做成一个等 边三角形DAB（命题1.1）， 做DA的延长线AE，DB的延长线BF 再以B为圆心，BC为半径作圆CGH，再以D为圆心DG 为半径作圆GKL Hanjingshanxi jincheng 命题1.2、 Hanjingshanxi jincheng 命题1.3 命题:给定两条不等线段可以在较长一条上取一条 较短线段等于已知线段 Hanjingshanxi jincheng 命题1.4 命题：如果三角形的两条边及其夹角相等，则第三边也相 等，；两个三角形全等，其他的两个角也相等； 设：三角形ABC、DEF，使得AB=DE，AC=DF，AB是 DE的对应边，AC是DF的对应边，角A等于角D；那么我 们说边BC=EF，三角形ABC全等于三角形DEF，相应的 角亦相等，角B等于角E，角C等于角F； 证明：假设三角形ABC与DEF不全等，置A点于D点上， AB线于DE线上， 因为AB=DE， B就同点E重合； 又角A等于角D，AC与DF相等；于是C必定与点F重合。 结果成立。 Hanjingshanxi jincheng 命题1.5-1.8 命题1.5、等腰三角形的两底角相等，将腰延长， 与底边形成的两个补角亦相等； 命题1.6、如果在一个三角形里有两个角相等，那 么也有两条变相等； 命题1.7、过线段两端点引出两条线段交与一点， 那么在同一侧，不可能有相交于另一点的两条线 段，分别等于前两条线段，即交点到相同端点的 线段相等； 命题1.8、如果两个三角形有三边对应相等，那么 这两个三角形所有的对角亦相等； Hanjingshanxi jincheng 命题1.9 命题：一个角可以分成相等的两个角； 设：已知角BAC，平分该角； Hanjingshanxi jincheng 命题1.10-12 命题1.10、一条线段可以被分成两条相等的线 段； 命题1.11、过直线上一个点，可以做该直线的垂 线； 命题1.12、过直线外一点，可以做该直线的垂 线； Hanjingshanxi jincheng 命题1.13-15 命题1.13、两条直线相交，邻角是两个直角或者 其和为180度； 命题1.14、平面上两条不在一边的射线过任意直 线上一点，所成的邻角之和若等于两个直角的 和，那么这两条射线构成一条直线； 命题1.15、两直线相交对顶角相等； Hanjingshanxi jincheng 命题1.16-17 命题16：任意三角形，其任意一边的延长线所形 成的外角大于任意不相邻的内角； 命题17：任意一个三角形 其两内角和总小于两个 直角； Hanjingshanxi jincheng 命题1.18-19 命题18：在任何三角形中，大边一定对大角； 命题19：在任何三角形中，大角总是对大边； Hanjingshanxi jincheng 命题1.20 命题：在任何三角形中任意两条边的和大于第三 边； Hanjingshanxi jincheng 命题1.21 命题：以三角形一边的两个端点向三角形以内引 两条相交线，那么交点到这两个端点的这两条线 段的和小于三角形余下的两条边的和，所形成的 角大于三角形同侧的内角。 Hanjingshanxi jincheng 命题1.22 命题：用三条线段建立三角形，那么这三条线段 必须满足任意两条边的和大于第三条的条件。 Hanjingshanxi jincheng 命题1.23 命题23:给定一条直线和一条其上的点，可以做一 个角等于已知角。 Hanjingshanxi jincheng 命题1.24 命题:两个三角形有两条对应边相等，其中一个三 角形的对应夹角大于另一个三角形的夹角，那 么，这一个三角形的第三边也大于另一个的第三 边。 Hanjingshanxi jincheng 命题1.25-26 命题1.25:三角形中如果有两条对应边相等，其中 一个的第三边比另一个大，那么同时也有一个角 比另一个大。 命题1.26:两个三角形如果有两个角和一条对应边 相等，那么其余的对应边和角都相等。 Hanjingshanxi jincheng 命题1.27 命题：如果一条直线与另外两条直线相交，所形 成的内错角相等，那么这两条直线平行。 Hanjingshanxi jincheng 命题1.28-31 命题1.28、如果一条直线与另外两条直线相交， 所形成的同位角相等，那么这两条直线平行；如 果同旁内角互补，两条直线也平行。 命题1.29、一条直线与两条平行线相交，所成内 错角相等，同位角相等，同旁内角互补。 命题1.30、平行于同一条直线的两条直线平行。 命题1.31、通过直线外一点可以作一条直线的平 行线。 Hanjingshanxi jincheng 命题1.32 Hanjingshanxi jincheng 命题1.33-34 命题1.33、一组对边平行且相等的四边形的另一 组对边也平行且相等； 命题1.34、平行四边形中对边相等，对角相等， 对角线平分该四边形； Hanjingshanxi jincheng 命题1.35 命题：在同底上且在相同的二平行线之间的平行 四边形面积相等； Hanjingshanxi jincheng 命题1.36-41 命题1.36、在等底上且在相同的二平行线之间的平行四边 形面积相等； 命题1.37、同底等高的三角形面积相等； 命题1.38、等底等高的三角形面积相等； 命题1.39、有共同底边位于同侧面积相等的三角形的令两 点的连线平行于底边； 命题1.40、等底并在同一边的面积相等的三角形，定点的 连线平行于底边； 命题1.41、如果一个平行四边形与三角形同底边，并同一 顶点连线平行与底边，那么平行四边形的面积是三角形的 两倍； Hanjingshanxi jincheng 命题1.42-46 命题1.42、可建立一个平行四边形使其面积等于 一个给定角的给定三角形的面积； 命题1.43、在任何平行四边形中，对角线上两边 的平行四边形的补形的面积互相相等； 命题1.44、给定一条线段，给定一个角，可建立 一个平