因式分解的十二种方法因式分解的方法顺口溜

因式分解的十二种方法因式分解的方法顺口溜 因式分解的十二种方法 : 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x?-2x?-x (xx淮安市题) x? -2x? -x=x(x? -2x -1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a? + 4ab + 4b? (xx南通市中考题) 解：a ? + 4ab +4b? =（a+2b）? 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a ，把它后两项分成一组，并提出公因式b ，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m ? + 5n - mn - 5m 解：m ? + 5n - mn - 5m= m? - 5m - mn + 5n = (m? -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx ? +px+q形式的多项式，如果a b=m,cd=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x ? -19x-6 分析： 1 - 3 7 2 2 - 21=-19 解：7x ? -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x ? +3x-40 33解 x ? +3x - 40=x ? + 3x + ( 2) ? - ( 2 ) ? -40 313=(x + 2 ) ? - ( 2 ) ? 313313=(x + 2 + 2 )(x + 2 - 2 ) =(x+8)(x-5) 1*注：( ) ? + =( ) ?=( ) ? 244422 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c a + a +b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x4 -x? -6x ? -x+2 解：2x4 -x? -6x ? -x+2=2(x4 +1)-x(x? +1)-6x? 11=x? 2(x? + x?)-(x+ x )-6 1令y = x + x , 11则x ?2(x? + x? )-(x+ x )-6 = x? 2(y? -2)-y-6 = x? (2y? -y-10) =x? (y+2)(2y-5) 11=x? (x+ x +2)(2x+ x -5) = (x? +2x+1) (2x? -5x+2) =(x+1)2(2x-1)(x-2) 121注：y? =(x+ x ) = x? + x? +2 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x 1 ,x2 ,x3 ,?x n ,则多项式可因式分解为 f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )?(x-xn ) 例8、分解因式2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6 解：令f(x)= 2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0 1通过综合除法可知，f(x)=0根为 2 ，-3，-2，1 则2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 注：2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6 =2x4 +7x3 -2x2 -7x-6x +6 =2x4 -2x2 +7x3-7x-6x +6 =2x2 (x2 1) + 7x (x2 1) 6 (x -1) =2x2 (x +1) (x -1) + 7x (x +1) (x -1) 6 (x -1) =(x - 1) 2x2 (x +1) + 7x (x +1) 6 =(x - 1) (2x3 +2x2 + 7x 2 +7x 6 ) =(x - 1) (2x3 +9x2 +7x 6 ) =(x - 1) (2x3 +6x2+3x2 +9x -2x 6 ) =(x - 1) 2x2 (x +3) +3x(x + 3) -2(x + 3 ) =(x - 1) (x +3) ( 2x2 +3x -2 ) =(x - 1) (x +3) ( 2x -1)(x + 2 ) 1所以四根分别是：1；-3；2；-2。 9、 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X 轴的交点x 1 ,x 2 ,x 3 , ?x n ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )?(x-xn ) 例9、因式分解x 3 +2x2 -5x-6 解：令y= x3 +2x2 -5x-6 作出其图象，见右图，与x 轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 注：x 3 +2x2 -5x-6 = x3 +x2+x2 +x-6x -6 = x2（x +1）+ x（x+1）- 6（x +1） = （x +1）（x 2+ x- 6） = （x +1）（x +3）（x -2） 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a 2 (b-c)+b2(c-a)+c2 (a-b) 分析：此题可选定a 为主元，将其按次数从高到低排列 解：a 2 (b-c)+b2(c-a)+c2 (a-b) =a2 (b-c)-a(b2 c 2 )+(b2 c-c2 b) =a2 (b-c)-a(b-c) (b+c)+bc (b-c) =(b-c) a2 -a(b+c)+bc =(b-c)(a-b)(a-c) ?（十字相乘） 11、 利用特殊值法 将2或10代入x ，求出数P ，将数P 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x ，即得因式分解式。 例11、分解因式x 3 +9x2 +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=357 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值。（即：3=2+1，5=2+3，7=2+5） 则x 3 +9x2 +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x 4 x 3 -5x2 -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x 4 x 3 -5x2 -6x-4=(x2 +ax+b)(x2 +cx+d) = x4 +(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd 则x 4 x 3 -5x2 -6x-4 =(x2 +x+1)(x2 -2x-4) 关于“易知这个多项式没有一次因式”，本人理解为最高次方的系数为1。或者设x 4 x 3 -5x2 -6x-4=（x+a）(x3 + bx2 +cx+d) 关于待定系数法，下面还有讲解： 待定系数法就是说设原式=（x+a)(x2+bx+c),因为x 3一项系数是一，所以这么设，然后将它展开和原式对比系数列出3个方程就可以解出a,b,c, 然后判断后边那个2次的能不能进一步分解，如果a,b,c 无解就说明原式无法分解。 一元n 次方乘根与系数关系这么推倒，以3次为例，设3个根为x 1,x 2,x 3 则任意ax 3+bx2+cx+d就可以写成a(x-x1)(x-x2)(x-x3) 将右边展开和左边对比系数就能得到根与系数的关系。 4次及n 次方程类似。 四次的比较麻烦，必须先设原式=(x+a)( x3+bx2