几类特殊四面体的外接球问题_吴平生

收稿日期: 2006-02-14 作者简介: 吴平生( 1974), 男, 广东南雄人, 广州市第十六中学一级教师, 学士. 几类特殊四面体的外接球问题 吴 平 生 ( 广州市第十六中学, 广东 510080) 中图分类号: O124. 2 文献标识码: A 文章编号: 0488-7395( 2006) 11-0015-03 我们知道,每个四面体都有外接球 ,球心就是 各条棱的中垂面的交点,这个点到各个顶点的距 离都相等. 给出一个四面体求它的外接球半径,是 一类常见的问题 . 下面以近几年的高考题为例来 说明几类特殊四面体的外接球半径的求法. 1 等腰四面体的外接球 三对对棱分别相等的四面体叫做等腰四面 体,从长方体的一个顶点出发的三条面对角线,以 及另三个端点连成的三条面对角线可以构成一个 等腰四面体 . 设等腰四面体的三条棱长分别是 a , b , c,通 过构造长方体 ,可以求得它的外接球半径为 R = 2 4 a2+b2+c2. 特别地 ,当 a =b =c 时,棱长为 a 的正四面体的外接球半径为R = 6 4 a . 例 1 ( 2003 年新课程高考题)一个四面体 的所有棱长都为 2 . 四个顶点在同一球面上 ,则此 球的表面积为( ) ( A)3. ( B)4. ( C)3 3.( D)6. 图 1 例 1 图 分析 由于四面体的 所有棱长都相等, 所以它 也是等腰四面体, 因此可 以构造长方体来求出它的 外接球半径 . 构造棱长为 1 的 正方体ABCD- A1B1C1D1, 如 图 1, 则 B1- ACD1是棱长为 2 的 正四面体, 且正四面体 B1-ACD1与正方体 AB- CD-A1B1C1D1有相同的外接球 . 设外接球半径 为 R ,则 2R = 3 ,从而 R = 3 2 . 所以此球的表面 积为 S球= 4R2=4 (3 2 ) 2 = 3,故选( A) . 评注 本题若直接运用正四面体的外接球半 径公式 R = 6 4 a = 6 4 2 = 3 2 ,从而 S球=4R2 = 3,也能迅速得出答案( A) . 2 直角四面体的外接球 同一顶点上的三条棱两两垂直的四面体叫做 直角四面体 . 从长方体的一个顶点出发的三条棱, 以及另三个端点的连线可以构成一个直角的四面 体. 设直角四面体的三条直角边长分别是 a , b , c ,通过构造长方体,可以求得它的外接球半径为 R =1 2 a2+b2+c2. 图 2 例 2 图 例 2 ( 2005 年辽宁高 考题改编) 如图 2, 已知三 棱锥 P-ABC 中, E , F 分别 是AC,AB的 中 点, ABC , PEF 都是正三 角形. PF AB . 若点 P , A ,B , C 在一 个表面积 为 12 的球面 上, 求 ABC 的边长. 解 PF =EF =1 2 BC=1 2 AB , PA PB . 同理 PA PC . PF AB ,F 是 AB 的中点 , PA =PB ,同理 PA =PC . 15 2006年第 11 期 数 学 通 讯 设 AB =a ,则 PA =PB =PC= 2 2 a . PB2+PC2=BC2, PB PC. 因为 PA ,PB , PC 两两垂直,所以以PA , PB , PC 为棱的正方体与三棱锥P-ABC 有相同的外接 球,设外接球半径为 R ,则 2R = 3PA . 4R2= 12, R = 3 , PA = 2 . PAB 是等腰直角三角形, AB =2 2 . ABC的边长为2 2 . 评注 求一个特殊四面体的外接球半径,关 键是要分析清楚三棱锥的结构特征 . 3 正三棱锥的外接球 底面是正三角形,且顶点在底面的射影是底 面的中心的三棱锥叫做正三棱锥. 设正三棱锥的底面边长 a ,高为 h ,则它的外 接球半径为 R =a 2 +3h2 6h . 图 3 三棱图 更一般地 ,如果一个 三棱锥的顶点在底面射 影是底面三角形的外心 , 并设这个三棱锥的底面 三角形的外接圆半径为 r ,高为 h ,那么它的外接 球半径为 R =r 2 +h2 2h . 证 明如下 : 如图 3 , 在三锥 A- BCD 中 , AO1底面 BCD 于 O1, 且 O1是 BCD 的外心. 设 O 为三棱锥 A- BCD 的外接球 球心. 则 O 在 AO1上. 设 O1B =r , AO1=h , OA =OB =R , 在 Rt OBO1中,由 OB2=BO1 2 +OO1 2 ,得 R2=r2 + ( h -R) 2 ,解得 R =r 2 +h2 2h . 例 3 ( 2005 年天津高考题改编)如图 4 ,在 斜三棱柱 ABC-A1B1C1中, A1AB =A1AC , AB =AC , A1A =A1B =a ,侧面 B1BCC1与底面 ABC所成的二面角为 120 ,求经过 A1, A , B , C 四点的球的体积. 解 如图5 ,分别取 BC ,B1C1的中点 D ,E , 连结 AD ,DE , A1E ,则 A1A DE . 连结 A1C , A1D . AB =AC ,D 是BC 的 中点, AD BC . 图 4 例3 题图 图 5 例3 解答图 AB =AC , A1AB =A1AC, A1AB A1AC , A1B =A1C , A1D BC, BC平面 A1AD , BC AA1. DE AA1, BC DE , ADE 是二面角 A- BC- B1的平面角 . 从 而ADE = 120 , A1AD =60 . 作 A1H 底面 ABC 于H . 由于 A1A =A1B =A1C =a ,所以 H 为ABC 的外心. AB =AC, H 在 AD 上 . 在 Rt A1AH 中, AH =a 2 , A1H = 3 2 a . 设外接球球心 O , 半径为 R , 则 O 在 A1H 上. 连结 AO ,在 Rt OAH 中 ,由 OA2=AH2+ OH 2 ,得 R 2 = ( a 2 ) 2 + (3 2 a -R) 2 ,解得 R = 3 3 a . 故外接的体积为 V球=4 3 R3=4 3 (3 3 a) 3 = 4 3 27 a3. 评注 本题通过确定球心的位置与构造球心 与侧棱所在截面的直角三角形得出外接球半径与 三棱锥侧棱之间的关系 . 4 矩形折成的四面体的外接球 例 4 ( 2005 年江西高考题)矩形 ABCD 中, AB =4,BC=3,沿 AC 将矩形ABCD 折成一个直 二面角B-AC- D ,则四面体 ABCD 的外接球的体积 为( ) ( A)125 12 . ( B)125 9 . ( C)125 6 . ( D)125 3 . 分析 设 AC 与BD 相交于点O ,则翻折后仍 有 OA =OB =OC=OD . 因此 O 是四面体 ABCD 的外接球的球心 . 球的半径为 R =1 2 AC=5 2 ,所 16 数 学 通 讯 2006 年第 11 期 收稿日期: 2006-02-15 作者简介: 陈亮远( 1957), 男, 江苏邳州人, 江苏运河高级中学高级教师, 学士. 平面图形与其直观图的面积关系 陈 亮 远 ( 运河中学, 江苏 221300) 中图分类号: O123. 1 文献标识码: A 文章编号: 0488-7395( 2006) 11-0017-02 新课标对学生作图能力的要求明显加 强,因此, 探讨平面图形的直观图的性质很有 必要 . 若记平面内的封闭图形为 F ,在这个平 面内建立直角坐标系后, 按照斜二测法( 即建 立45 坐标系 x o y ) 画出这个图形的直观图 F 再与原图F 相比较 , 形状有明显不同, 并 且由于图形在直角坐标系中的位置不同, 得 到相应的直观图的形状也可能不同. 那么不 同形状的直观图 ,它们的面积是否相等? 倘 若相等 ,那么它们的面积与原图形的面积有 没有一定的比例关系 ? 这就是本文要给予解 决的 . 画出 直 角 边 为 a , b 斜 边 的 c 的 Rt ABC的直观图 ,通过计算可以得出直角 三角形的面积与其直观图的面积之间的关 系. 下面分步给予说明: 图 1 直角三角形 1 以 C 为原点, CA 为 x 轴, CB 为y 建 立直角坐标系 : 画对应 的x轴 ,y轴 , 使 x O y =45 . 按照斜 二 测 法 作 出 直 观 图 以 V球=4 3 R3=4 3 (5 2 ) 3 =125 6 ,故选( C) . 图 6 圆内接四边形 评注 本题可将“折成 一个直二面角 B-AC- D”的 条件放宽为“折成一个二面 角 B-AC- D” ,其结果不变. 这说明若将一个矩形沿对 角线折成四面体,则这些四 面体有相同的外接球,并且 矩形的对角线就是外接球的直径 . 更一般地 ,如果 一个圆内接四边形有一条对角线是它的外接圆直 径. 如图 6,那么将这个四边形沿着这条对角线折 成的四面体有相同的外接球 ,并且四边形的外接 圆直径就是折成的四面体外接球的直径 . 由以上各例可以看出 ,求一个特殊四面体的 外接球半径,通常有以下几种思路 : 一是构造法, 比如求等腰四面体与直角四面体的外接球半径 , 可通过构造一个球内接长方体得到; 二是截面法, 比如求正三棱锥的外接球径,可通过分析球心与 一条侧棱所在截面的有关三角形计算得到; 三是 观察法 ,比如将一个矩形沿对角线折成一个四面 体,它的外接球球心就是原来矩形外接圆的圆心 . 关于一般四面体的外接球半径问题, 可以用 解析法求出 . 方法如下: 先建立适当的空间直角坐