圆总复习教案--含答案--教师版

-佳绩改变未来 圆知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；2、点在圆上 点在圆上；3、点在圆外 点在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1） 无交点 ；外切（图2） 有一个交点 ；相交（图3） 有两个交点 ；内切（图4） 有一个交点 ；内含（图5） 无交点 ； 五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： 是直径 弧弧 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在中， 弧弧六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：； 弧弧七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角 2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在中， 四边形是内接四边形 九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：且过半径外端 是的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线 平分十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点， （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，直径， （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线 （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在中，、是割线 十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：、相交于、两点 垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：中，；（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，；（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 =（2）圆柱的体积：（2）圆锥侧面展开图（1）=（2）圆锥的体积：十六、知识框图： 【典型例题】 例1. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？ 分析：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示： 解： 点导火索的人非常安全例2. 已知梯形ABCD内接于O，ABCD，O的半径为4，AB6，CD2，求梯形ABCD的面积。 分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OECD于E，延长EO交AB于F，证OFAB。 此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。 解：分两种情况讨论： （1）当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1）： 过O作OECD于E，延长EO交AB于F 连OC、OB，则CEDE ABCD，OECD OFAB，即EF为梯形ABCD的高 在RtOEC中，EC1，OC4 （2）当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图（2）： 过O作OECD于E，交AB于F 以下证法同（1），略。 圆练习一、填空题1、已知O1和O2的半径分别为2和3，两圆相交于点A、B，且AB2，则O1O2_ 2、已知四边形ABCD是O的外切等腰梯形，其周长为20，则梯形的中位线长为_3、如图，在ABC中，ABAC，C72，O过A、B两点，且与BC切于点B，与AC交于D，连结BD，若BC1，则AC_4、用铁皮制造一个圆柱形的油桶，上面有盖，它的高为80厘米，底面圆的直径为50厘米，那么这个油桶需要铁皮（不计接缝） 厘米2（不取近似值）5、已知两圆的半径分别为3和7，圆心距为5，则这两个圆的公切线有_条6、如图，以AB为直径的O与直线CD相切于点E，且ACCD，BDCD，AC8 cm，BD2 cm，则四边形ACDB的面积为_7、如图，PA、PB、DE分别切O于A、B、C，O的半径长为6 cm，PO10 cm，则PDE的周长是_图中知，CMR8，MDR8，8、一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为_9、如图，已知PA与圆相切于点A，过点P的割线与弦AC交于点B，与圆相交于点D、E，且PAPBBC，又PD4，DE21，则AB_二、选择题10、有4个命题：直径相等的两个圆是等圆；长度相等的两条弧是等弧；圆中最大的弧是过圆心的弧；一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧其中真命题是（ ）（A） （B） （C） （D）11、如图，点I为ABC的内心，点O为ABC的外心，O140，则I为（ ）（A）140 （B）125 （C）130 （D）11012、如果正多边形的一个外角等于60，那么它的边数为（ ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 13、如图，AB是O的弦，点C是弦AB上一点，且BCCA21，连结OC并延长交O于D，又DC2厘米，OC3厘米，则圆心O到AB的距离为（ ）（A）厘米 （B）厘米 （C）2厘米 （D）3厘米14、等边三角形的周长为18，则它的内切圆半径是（ ）（A）6 （B）3 （C） （D）15、如图，O的弦AB、CD相交于点P，PA4厘米，PB3厘米，PC6厘米，EA切O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE2厘米，则PE的长为（ ）（A）4厘米 （B）3厘米 （C）厘米 （D）厘米16、一个扇形的弧长为20p 厘米，面积是240p 厘米2，则扇形的圆心角是（ ）（A）120 （B）150 （C）210 （D）24017、两圆半径之比为23，当两圆内切时，圆心距是4厘米，当两圆外切时，圆心距为（ ）（A）5厘米 （B）11厘米 （C）14厘米 （D）20厘米18、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆周角是（ ）（A）60 （B）90 （C）120 （D）18019、如图，等腰直角三角形AOB的面积为S1，以点O为圆心，OA为半径的弧与以AB为直径的半圆围成的图形的面积为S2，则S1与S2的关系是（ ）（A）S1S2 （B）S1S2 （C）S1S2 （D）S1S2 三、解答题20、如图，在ABCD中，AB4，AD2，BDAD，以BD为直径的O交AB于E，交CD于F，则ABCD被O截得的阴影部分的面积为_21、如图，ABC内接于O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CBCE，求证：（1）BEDG；（2）CB2CF2BFFE22、如图，O表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，且MBMA14，求工件半径的长23、已知：如图（1），O1与O2相交于A、B两点，经过A点的直线分别交O1、O2于C、D两点（C、D不与B重合），连结BD，过点C作BD的平行线交O1于点E，连BE（1）求证：BE是O2的切线；（2）如图（2）若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其他条件不变，判断BE和O2的位置关系（不要求证明） 24、如图，已知CP为O的直径，AC切O于点C，AB切O于点D，并与CP的延长线相交于点B，又BD2 BP求证：（1）PC3 PB；（2）ACPC圆参考答案一、填空题1、当两圆在AB的两侧时，设O1O2交AB于C，则O1O2AB，且ACBC， AC1在RtAO2C中，O2C2；在RtAO1C中，O1C O1O22当两圆在AB的同侧时，同理可求O1O22 【答案】22、圆外切四边形的两组对边之和相等，则上、下底之和为10，故中位线长为5【答案】53、在ABC中，ABAC，则 ABCACB72， BAC36又 BC切O于B， ADBC36 BDC72 ABD723636 ADBDBC易证CBDCAB， BC 2CDCA ADBDBC， CDACADACBC BC2（ACBC）CA解关于AC的方程，得ACBC AC（1）2【答案】24、铁皮的面积即圆柱的侧面积与两底的面积的和底面圆面积为p502625p（厘米2），底面圆周长为p5050p（厘米），则铁皮的面积为2625p8050p5250p（厘米2）【答案】5250p厘米25、 73573， 两圆相交， 外公切线有2条，内公切线有0条【答案】26、设AC交O于F，连结BF AB为O的直径， AFB90连结OE，则OECD， ACOEBD 点O为AB的中点， E为CD的中点 OE（BDAC）（82）5（cm） AB2510（cm）在RtBFA中，AFCABD826（cm），AB10 cm， BF8（cm） 四边形ACDB的面积为（28）840（cm2）【答案】40 cm27、连结OA，则OAAP在RtPOA中，PA8（cm）由切线长定理，得EAEC，CDBD，PAPB， PDE的周长为PEDEPDPEECDCPD，PEEAPDDBPAPB16（cm）【答案】16 cm8、设两正多边形的外接圆半径为R，则正方形面积为4R22 R2，正六边形的面积为6R2R2，所以它们的比为2 R2：R249【答案】499、由切割线定理，得 PA2PDPE PA10 PBBC10 PEPDDE25， BE251015 DB21156由相交弦定理，得 ABBCBEBD AB10156 AB9【答案】9二、选择题10、长度相等的两弧不一定是等弧，故不对；当弦是直径时，直径把圆分为两个半圆，它们是等弧，故不对【答案】A 11、因点O为ABC的外心，则BOC、A分别是所对的圆心角、圆周角，所以O2A，故A14070又因为I为ABC的内心，所以I90A9070125【答案】B12、正多边形的外角等于它的中心角，所以60，故n6【答案】C13、延长DO交O于E，过点O作OFAB于F，则CE8厘米由相交弦定理，得DCCEACCB，所以AC2 AC28，故AC2（厘米），从而BC4厘米由垂径定理，得AFFB（24）3（厘米）所以CF32（厘米）在RtCOF中， OF（厘米）【答案】C14、等边三角形的边长为6，则它的面积为629又因为三角形的面积等于内切圆的半径与三角形的周长的积的一半，所以9r18（r为内切圆半径）解此方程，得r【答案】C15、由相交弦定理，得PAPBPDPC 43PD6 PD2（厘米）由切割线定理，得 AE2EDEC （2）2ED （ED26）解此方程得ED2或ED10（舍去） PE224（厘米）【答案】A16、设扇形的圆心角为n度，半径为R，则解方程组得【答案】B17、设两圆半径分别为2 x、3 x厘米，则内切时有3 x2 x4，所以x4于是两圆半径分别为8厘米、12厘米故外切时圆心距为20厘米【答案】D18、设圆锥的母线长为a，圆心角度数为n，底面圆的半径为r，则解此方程组，得 n180【答案】D19、设OAa，则S1a2，弓形ACB的面积pa2a2在RtAOB中，ABa，则以AB为直径的半圆面积为p（）2p（a）2pa2则S2pa2（pa2a2）a2【答案】C三、简答题20、连结OE、DE ADBD，且AB4，AD2， DBA30，且BD6 BD为直径， DEB90 DEBDsin 3063，BE63 SDEB33 O为BD的中点， SBOESDEB DOBD3，DOE23060， S阴影2（SADBS扇形DOESEOB）2（26p32）3p【答案】21、【略证】（1） CG为O的切线， EBCGCE CBCE， EBCE EGCE GCEB（2） EBCEA，FCBO为公共角， CBFCAB CB2CFCACF（CFAF）CF2CFAF由相交弦定理，得 CFFABFFE， CB2CF2BFFE即 CB2CF2BFFE22、把OM向两方延长，分别交O于C、D两点设O的半径为R从图中知，AB15 cm又 MB