《振动分析基础》PPT课件

,第二章机械振动基础,引言,振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作往复运动。,物理学知识的深化和扩展物理学中研究质点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。,振动属于动力学第二类问题已知主动力求运动。,振动问题的研究方法与分析其他动力学问题相类似：,选择合适的广义坐标；,分析运动；,分析受力；,选择合适的动力学定理；,建立运动微分方程；,求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。,振动问题的研究方法与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义坐标的原点。,研究振动问题所用的动力学定理：,矢量动力学基础中的动量定理；动量矩定理；动能定理；达朗贝尔原理。,分析动力学基础中的拉格朗日方程。,按激励特性划分：,振动问题的分类,自由振动没有外部激励，或者外部激励除去后，系统自身的振动。,参激振动激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动。,自激振动系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。,受迫振动系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。,按系统特性或运动微分方程类型划分：,线性振动系统的运动微分方程为线性方程的振动。,非线性振动系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。,按系统的自由度划分：,单自由度振动一个自由度系统的振动。,多自由度振动两个或两个以上自由度系统的振动。,连续系统振动连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个自由度。,自由度与广义坐标自由度数:完全确定系统运动所需的独立坐标数目称为自由度数。刚体在空间有6个自由度：三个方向的移动和绕三个方向的转动，如飞机、轮船；质点在空间有3个自由度：三个方向的移动，如高尔夫球；质点在平面有2个自由度：两个方向的移动，加上约束则成为单自由度。,19-1单自由度系统的自由振动,1.自由振动微分方程,l0弹簧原长；k弹簧刚性系数；,st弹簧的静变形；,取静平衡位置为坐标原点，x向下为正，则有：,单自由度无阻尼自由振动方程,A振幅；n固有频率；（n+）相位；初相位。,系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系,不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关,无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止。,单自由度无阻尼自由振动,单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程,物理学基础的扩展,这一方程，可以扩展为广义坐标的形式,例题1,提升重物系统中，钢丝绳的横截面积A2.89104m2，材料的弹性模量E200GPa。重物的质量m6000kg，以匀速v0.25m/s下降。当重物下降到l25m时，钢丝绳上端突然被卡住。,求：（1）重物的振动规律；（2）钢丝绳承受的最大张力。,解：钢丝绳重物系统可以简化为弹簧物块系统,弹簧的刚度为,设钢丝绳被卡住的瞬时t0，这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移x作为广义坐标，则系统的振动方程为,方程的解为,利用初始条件,求得,（2）钢丝绳承受的最大张力。,取重物为研究对象,绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和：,动张力几乎是静张力的一半,动张力表达式：,为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度,分析2,均质等截面悬臂梁，长度为l,弯曲刚度为EI。梁的自由端放置一质量为m的物块。若不计梁的质量。试写出梁物块系统的运动微分方程。,例题2,考察梁和物块所组成的系统。以物块铅垂方向的位移作为广义坐标q=y,坐标原点O设在梁变形后的平衡位置，这一位置与变形前的位置之间的距离，即为物块静载作用下的挠度，亦即静挠度，用yst表示。,分析物块运动到任意位置(坐标为y)时，物块的受力：应用牛顿第二定律,分析物块运动到任意位置(坐标为y)时，梁的自由端位移与力之间的关系,此即梁物块的运动微分方程,例：重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞,梁长L，抗弯刚度EI,求：梁的自由振动频率和最大挠度,例题3,解：,由材料力学：,自由振动频率为：,取平衡位置,以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系,静变形,m,h,0,l/2,l/2,x,撞击时刻为零时刻，则t=0时，有：,则自由振动振幅为：,梁的最大扰度：,例：圆盘转动,圆盘转动惯量I,在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置,扭振固有频率,为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩,由牛顿第二定律：,例题4,由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将m、k称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的。,从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。,串联弹簧与并联弹簧的等效刚度,1.串联,2.并联,解：（1）计算3、4的等效刚度,（2）计算2、3、4的等效刚度,解：（1）计算3、4的等效刚度,（2）计算2、3、4的等效刚度,（3）计算系统的等效刚度,（4）计算系统的固有频率,在图中，当把弹簧原长在中点O固定后，系统的固有频率与原来的固有频率的比值为。,在图中，当物块在中点时其系统的固有频率为n0，现将物块改移至距上端处，则其固有频率=n0。,解：取静平衡位置为其坐标原点，由动量矩定理，得,在静平衡位置处，有,在静平衡位置处，有,如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项。,能量法,对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率。,无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能T和势能V之和保持不变，即：,或：,固有频率计算,2计算固有频率的能量法,物块的动能为,取静平衡位置为零势能点，有,在静平衡位置处，有,物块在平衡位置处，其动能最大,物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大,无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒,解：设OA杆作自由振动时，其摆角的变化规律为,系统的最大动能为,系统的最大势能为,由机械能守恒定律有,例题8,解：取摆角为广义坐标,由运动学可知：,系统的动能,系统的势能,拉氏函数为,解：设摆角的变化规律为,系统的最大动能为,取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为,由机械能守恒定律有,例：如图所示是一个倒置的摆,摆球质量m,刚杆质量忽略,每个弹簧的刚度,求:(1)倒摆作微幅振动时的固有频率,解法1：,广义坐标,动能,势能,平衡位置1,零平衡位置1,解法2：,平衡位置2,动能,势能,零平衡位置2,例：均质圆柱质量m，半径R与地面纯滚动在A、B点挂有弹簧,确定系统微振动的固有频率,解：,广义坐标：圆柱微转角,圆柱做一般运动，由柯希尼定理，动能：,C点为运动瞬心,势能：,C,A点速度：,B点速度：,解：,动能：,势能：,C,瑞利法,利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高。,例如：弹簧质量系统,设弹簧的动能:,系统最大动能：,系统最大势能：,若忽略，则增大,弹簧等效质量,教学内容,无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度阻尼自由振动等效粘性阻尼,单自由度系统自由振动,拉格朗日方程,本章是将达朗伯原理和虚位移原理结合起来推导出动力学普遍方程和拉格朗日方程。动力学普遍方程中系统的运动是直角坐标来描述的，而拉格朗日方程是用广义坐标来描述系统的运动，两者都是用来解决非自由质点系的动力学问题，它是用分析的方法解决动力学问题的出发点，因此它是分析力学的基础。对于解决复杂的非自由质点系的动力学问题，应用拉格朗日方程往往要比用动力学普遍方程简便得多。,达朗伯原理设由n个质点组成的质点系，在质点系运动的任一瞬时，任一质点上作用的主动力，约束反力及其惯性力三者构成形式上的平衡力系,（4）对拉格朗日方程的评价,拉氏方程的特点（优点）：,是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。,方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已知的主动力，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。,拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的桥梁。,拉氏方程的价值,拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的规律，描述了力学系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题提供了统一的程序化的方法，不仅在力学范畴有重要的理论意义和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数学技巧。,等效质量和等效刚度,方法1：,选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：,当、分别取最大值时：,则可得出：,Ke：简化系统的等效刚度,Me：简化系统的等效质量,这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等,等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量,动能,势能,动能,势能,阻尼自由振动,前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振动中将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结构阻尼。尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。,最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼。在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。,单自由度系统自由振动,物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系,C粘性阻尼系数或粘阻系数,2.振动微分方程,取平衡位置为坐标原点，在建立此系统的振动微分方程时，可以不再计入重力的影响。,根据牛顿定律，物块的运动微分方程为,固有频率,相对阻尼系数,相对阻尼系数,本征方程,本征值,本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关。,齐次二阶常系数常系数线性微分方程，设其解为,其通解为,3.小阻尼情形,当n1)情形,临界阻尼(1)情形,这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减,非周期蠕动，没有振动发生,临界阻尼系数,临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些,欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动,过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生,小结：,动力学方程,欠阻尼,过阻尼,临界阻尼,按指数规律衰减的非周期蠕动,按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快,振幅衰减振动,例：阻尼缓冲器,静载荷P去除后质量块越过平衡位置得最大位移为初始位移的10,求：缓冲器的相对阻尼系数,单自由度系统自由振动,解：,由题知,设,求导：,设在时刻t1质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：,即经过半个周期后出现第一个振幅x1,单自由度系统自由振动,由题知,解得：,单自由度系统自由振动,例：,单自由度系统自由振动,刚杆质量不计,求：（1）写出运动微分方程,（2）临界阻尼系数，阻尼固有频率,小球质量m,解：,单自由度系统自由振动,阻尼固有频率：,无阻尼固有频率：,m,广义坐标,力矩平衡：,受力分析,19-4单自由度系统无阻尼受迫振动,受迫振动,系统在外界激励下产生的振动。,激励形式,外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。,简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。,1.振动微分方程,振动微分方程,微分方程的解为：,将x2代入微分方程，得,解得,2.受迫振动的振幅,幅频特性曲线,3.共振现象,当n时，激振力频率等于系统的固有频率时，振幅在理论上应趋于无穷大，这种现象称为共振。,这表明无阻尼系统发生共振时，振幅将随时间无限地增大。,19-5单自由度系统有阻尼受迫振动,这一微分方程的全解等于齐次方程的全解与非齐次方程的特解之和。,有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解,代入微分方程，解得,运动微分方程的通解为：,在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由二部分组成：第一部分是衰减振动；第二部分是受迫振动。,引入：,幅频特性与相频特性,1、0的附近区域(低频区或弹性控制区)，1，0，响应与激励同相；对于不同的值，曲线密集，阻尼影响不大。,2、1的区域(高频区或惯性控制区)，0，响应与激励反相；阻尼影响也不大。,幅频特性与相频特性,在低频区和高频区，当1时，B/a1。因此，设计时应当使测振仪具有比较低的固有频率，才能有比较大的值。被测频率愈高，测量精度也高；被测频率低，测量精度便低。对于同一值，阻尼较大时，B/a趋近于1。,例题9,已知：m、k、c,xe=asint,试分析：仪器的稳态响应。,解：假设观察者在不动的地面上观察仪器的运动，仪器在铅垂方向的位移x作为广义坐标，以平衡位置为广义坐标的原点。,仪器的运动方程为,激励由两部分组成：一部分是弹簧的运动激励，其幅值与激励频率无关；另一部分是阻尼的运动激励，其幅值与缴励频率成正比，且相位比弹簧激励超前/2。根据叠加原理，稳态响应也由两部分叠加而成:,对于仅有弹簧的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差,对于仅有阻尼的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差,幅频特性和相频特性曲线,本例所研究的实际上是隔振问题将外界振源尽可能与研究对象隔离（称为被动隔振）。为取得隔振效果，即仪器振幅B小于振源振幅a，应当如何设计隔振层的刚度k？对于隔振效果，阻尼大一点好还是小一点好？,关于本例的讨论,单自由度线性系统的受迫振动,受迫振动中的能量关系,惯性力、阻尼力、弹性恢复力和激励力在一个周期内怎样作功？又有怎样的能量关系呢？,无阻尼自由振动,系统机械能守恒，既无能量的损耗又无外界能量的输入，一个周期内仅有系统动能和势能的转换。,有阻尼自由振动,阻尼不断耗散能量，而外界又无能量补充，因此振动幅值随时间衰减。,受迫振动,单自由度线性系统的受迫振动,受迫振动中的能量关系,根据力在dt时间内所作之元功,dW=Fvdt,当力和速度同相位时，每一时刻都作正功；而当力和速度反相位时，每一时刻都作负功。,阻尼力和速度反相，因此始终作负功，在一个周期内所作的负功为,单自由度线性系统的受迫振动,受迫振动中的能量关系,若力与速度相位相差/2，则力在一个周期内作功等于零。,惯性力和弹性恢复力的相位都与速度相位相差/2，因此，惯性力与弹性恢复力在一个周期内所作之功都作功等于零。,单自由度线性系统的受迫振动,受迫振动中的能量关系,激励力超前位移相位，可将其分解为与速度和位移同相位的两部分。,对于微分方程简谐激励力,第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为,单自由度线性系统的受迫振动,受迫振动中的能量关系,第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为,这表明，稳态受迫振动一个周期内激励力所作之功等于阻尼力耗散的能量。这就可以解释为什么有阻尼系统受迫振动的稳态响应有一个稳定的振幅。,根据稳态响应幅值的表达式有,单自由度线性系统的受迫振动,受迫振动中的能量关系,因为在一个周期内激励力所作之功与振幅成正比，而阻尼耗散的能量与振幅平方成正比，当振动幅值还未达到稳定值B0时，激励力所作之功大于阻尼耗散的能量，振幅将增加。,当振幅到达B0时，激励力所作之功与阻尼耗散的能量相等，系统能够维持等幅振动。,单自由度线性系统的受迫振动,受迫振动中的能量关系,若由于某种干扰使振幅大于B0时，阻尼耗散的能量大于激励力所作之功，振幅又会衰减，直至在B0处又维持稳定的振幅。,结论与讨论,按激励不同，可将振动分为自由振动、强迫振动和自激振动等，若按系统特性分类，则可分为线性振动和非线性振动。,关于振动概念,工程力学将振动的概念从物理学中的单个质点扩展到系统。系统可以是单自由度，也可以是多自由度，乃至无限多自由度。,系统要产生振动必须有内因和外因：内因是系统本身既要有弹性又要有惯性，二者缺一不可。对有阻尼系统，仅在弱阻尼时运动才有振动形态。外因是系统要受到激励。,结论与讨论,关于运动微分方程,建立系统运动方程属于动力学第二类问题，即：已知主动力求运动的问题。主要过程与求解动力学其它问题相似，但振动问题还要注意广义坐标原点的选择，通常以静平衡位置作为广义坐标原点。,结论与讨论,关于运动微分方程,建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理,拉格朗日方程对于无阻尼的情形,结论与讨论,关于运动微分方程,建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理,拉格朗日方程对于有阻尼的情形,结论与讨论,关于运动微分方程,动量矩定理对于有一固定轴，并且绕固定轴转动的系统，特别对于扭转振动的情形，采用动量矩定理更好。,JO系统绕固定轴O的转动惯量的代数和；,LO所有外力对固定轴O之矩的代数和。力矩方向与广义坐