《数列的应用》PPT课件

数列的应用,典型例题,解:设第二个数为a,则第三个数为12-a.,前三个数成等差数列,第一个数为3a-12.,从而第四个数为16-(3a-12)=28-3a.,依题意得:(12-a)2=a(28-3a).,化简整理得a2-13a+36=0.,解得a=4或9.,这四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1.,1.有四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.,a2=1从而a1=1-d,a3=1+d.,整理得4(2d)2-17(2d)+4=0.,故an=2n-3或an=-2n+5.,解得2d=22或2-2.,d=2或-2.,当d=2时,an=a2+(n-2)d=1+2n-4=2n-3;,当d=-2时,an=a2+(n-2)d=1-2n+4=-2n+5.,f(x)=2-104x.,(2)由已知an=log2f(n)=log2(2-104n)=2n-10.,解得b=4,a=2-10.,Sn=n(n-9).,anSn=2n(n-5)(n-9).,nN*,由anSn0得(n-5)(n-9)0.,解得5n9,nN*.,n=5,6,7,8,9.,(3)a1S1=64,a2S2=84,a3S3=72,a4S4=40;,当5n9时,anSn0;,当10n22时,anSna22S22=9724104;,故整数104不是数列anSn中的项.,解:(1)由已知数列an+1-an是首项为-2,公差为1的等差数列.,an+1-an=(a2-a1)+(n-1)1=n-3.,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1),an-an-1=n-4(n2).,=6+(-2)+(-1)+0+1+2+(n-4),而a1=2亦适合上式,解:(2)显然当k=1,2,3时,ak-bk=0,不适合题意;,数列ak是递增数列,bk是递减数列.,数列ak-bk是递增数列.,5.已知等比数列an的各项均为正数,公比q1,数列bn满足b1=20,b7=5,且(bn+1-bn+2)logma1+(bn+2-bn)logma3+(bn-bn+1)logma5=0.(1)求数列bn的通项公式;(2)设Sn=|b1|+|b2|+|bn|,求Sn.,解:(1)将logma3=logma1+2logmq,logma5=logma1+4logmq代入已知等式整理得:,2(bn-2bn+1+bn+2)logmq=0.,bn-2bn+1+bn+2=0.,q1,logmq0.,即bn+bn+2=2bn+1.,数列bn是等差数列.,设其公差为d,则由b7=b1+6d可得d=,解:(2)令bn=0,得n=9.,当n9时,bn0.,当n9时,bnan-1及an=3n-1-2an-1知:an-an-1=3n-1-3an-10.,an-10.,032.,n4.,使Sn+n2n+130成立的n的最小值为5.,Sn=-(12+222+323+n2n).,9.以数列an的任意相邻两项为坐标的点Pn(an,an+1)(nN*)均在一次函数y=2x+k的图象上,数列bn满足条件:bn=an+1-an(nN*,b10).(1)求证:数列bn是等比数列;(2)设数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若S6=T4,S5=-9,求k的值.,(1)证:Pn(an,an+1)(nN*)均在一次函数y=2x+k的图象上,an+1=2an+k,即:an+1+k=2(an+k).,又bn=an+1-an=an+k,则bn+1=an+1+k,数列bn是等比数列.,解得:k=8.,(2)解:b1=a1+k,bn=(a1+k)2n-1,an=bn-k=(a1+k)2n-1-k,S6=T6-6k=(a1+k)(26-1)-6k=63a1+5k,T4=(a1+k)(25-1)=15(a1+k),S5=31a1+26k=-9,10.(1)已知数列cn,其中cn=2n+3n,且数列cn+1-pcn为等比数列,求常数p;(2)设an,bn是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明:数列cn不是等比数列.,(1)解:数列cn+1-pcn为等比数列,(cn+1-pcn)2=(cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1).,又cn=2n+3n,2n+1+3n+1-p(2n+3n)2=2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)2n+3n-p(2n-1+3n-1).,即(2-p)2n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n-1+(3-p)3n-1.,解得p=2或3.,(2)证:设an,bn的公比分别为p,q,pq.,为证cn不是等比数列,只须证c22c1c3.,事实上,c22=(a1p+b1q)2=a12p2+b12q2+2a1b1pq,c1c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=a12p2+b12q2+a1b1(p2+q2).,pq,p2+q22pq.,又a1,b1不为零,c22c1c3.,故cn不是等比数列.,11.设等比数列an的各项为实数,前n项的和为Sn,公比为q.(1)若S5,S15,S10成等差数列,求证:2S5,S10,S20-S10成等比数列;(2)若2S5,S10,S20-S10成等比数列,试问若S5,S15,S10一定成等差数列吗?请说明理由.,(1)证:由已知q1(若q=1,则S5=5a1,S15=15a1,S10=10a1,不满足S5,S15,S10成等差数列).,S5+S10-2S15=0.,t(1-q5+1-q10-2+2q15)=0.,即tq5(2q10-q5-1)=0.,tq50,2q10-q5-1=0.,以下有两种证法:,2S5,S10,S20-S10成等比数列.,法2:1+q5=2q10.,2S5,S10,S20-S10成等比数列.,(2)解:不一定成立.,例如q=1时,显然2S5,S10,S20-S10成等比数列,但S5,S15,S10不成等差数列.,11.设等比数列an的各项为实数,前n项的和为Sn,公比为q.(1)若S5,S15,S10成等差数列,求证:2S5,S10,S20-S10成等比数列;(2)若2S5,S10,S20-S10成等比数列,试问若S5,S15,S10一定成等差数列吗?请说明理由.,12.设数列an的前n项和为Sn,若Sn是首项为S1各项均为正数且公比为q的等比数列.(1)求数列an的通项公式an(用S1和q表示);(2)试比较an+an+2与2an+1的大小,并证明你的结论.,解:(1)由已知Sn=S1qn-1(q0).,当n=1时,a1=S1;当n2时,an=Sn-Sn-1=S1(q-1)qn-2.,(2)当n=1时,a1+a3-2a2=S1+S1(q-1)q-2S1(q-1),=S1(q2-3q+3)0.,a1+a32a2;,当n2时,an+an+2-2an+1=S1(q-1)qn-2+S1(q-1)qn-2S1(q-1)qn-1,S10,qn-20,当q=1时,(q-1)3=0an+an+2-2an+1=0an+an+2=2an+1;,=S1(q-1)3qn-2.,当0q1时,(q-1)30an+an+2-2an+10an+an+2-2an+10an+an+22an+1.,综上所述,当n=1时,a1+a32a2;,当n2时,若q=1,则an+an+2=2an+1;,若0q2an+1.,13.下表给出一个“三角形数阵”:已知每一列的数成等差数列,从第三行起每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为aij(ij,i,jN*).,(1)求a83;,(2)写出aij关于i,j的表达式;,(3)记第n行的和为An,求数列An的前m项和Bm的表达式;,解:(1)依题意ai1成等差数列.,14.设各项均为正数的数列an和bn满足5an,5bn,5an+1成等比数列,lgbn,lgan+1,lgbn+1成等差数列,且a1=1,b1=2,a2=3,求通项an,bn.,解:5an,5bn,5an+1成等比数列,(5bn)2=5an5an+1,2bn=an+an+1.,又lgbn,lgan+1,lgbn+1成等差数列,又由lgb1,lga2,lgb2成等差数列,且b1=2,a2=3得:,又a1=1亦适合上式,(1)证:设等比数列an的公比为q,由题设知a10,q0.,当q=1时,Sn=na1,SnSn+2-Sn+12=na1(n+2)a1-(n+1)2a12,=-a120;,=-a12qn0.,SnSn+2-Sn+120.,SnSn+2Sn+12.,lgSnSn+2lgSn+12.,lgSn+lgSn+22lgSn+1.,=-a120,使结论成立.,当q1时,(Sn-c)(Sn+2-c)-(Sn+1-c)2,当q=1时,(Sn-c)(Sn+2-c)-(Sn+1-c)2,=-a1qna1-c(1-q),且a1qn0,故只能有a1-c(1-q)=0,即,0q1.,但当00,式右端非负,由(1)知式的左端小于零,矛盾.,a1=-393,a2+a3=-768,解:(1)设等差数列an的公差为d,前n项