《数学实验》PPT课件

Pi的计算,1.Pi计算（古典方法与级数逼近）2.数值积分梯形方法3.数值积分抛物线方法4.数值微分,1、Pi的计算古典方法,(17世纪以前)通过圆内接正多边形和圆外切正多边形来夹逼.早在1500年前的南朝宋齐时期，我国古代数学家祖冲之就用古典方法给出了应介于3.1415926和3.1415927之间的结果.由于古典方法计算十分繁琐，费时费劲，改进速度慢，因此有不少致力于计算的人，获得的小数点后十几位最多几十位的精度（最好记录39位,1630德国格林伯格）。,2、Pi的计算级数逼近,从17世纪中叶开始，微积分方法开始诞生，人们逐步掌握了解决一些实际问题的分析方法和有用工具。,clear;k=0;r=1;p=0;K=-1;whiler=1.0e-5k=k+1;K=K*(-1);p1=p+K/(2*k-1);r=abs(4*(p1-p);fprintf(k=%.0f,p=%.6fn,k,4*p);p=p1;end,MATLAB程序,改进算法：,clear;k=0;r=1;p=0;K=-1;m=1;n=1;whiler=1.0e-5k=k+1;K=K*(-1);m=4*m;n=9*n;p1=p+K/(2*k-1)*(2/m+3/n);r=abs(4*(p1-p);fprintf(k=%.0f,p=%.8fn,k,4*p);p=p1;end,MATLAB程序,改进算法：,麦琴（Machin）公式：,clear;k=0;r=1;p=0;K=-1;m=1;n=1;whiler=1.0e-5k=k+1;K=K*(-1);m=25*m;n=239*239*n;p1=p+K/(2*k-1)*(20/m-239/n);r=abs(4*(p1-p);fprintf(k=%.0f,p=%.8fn,k,4*p);p=p1;end,MATLAB程序,3、Pi的定积分计算,，,定积分的近似计算,在高等数学中有一类积不出的积分，如,（概率积分）（椭圆积分）,输入：x=0:0.1:1;y=inline(exp(-x.2);y=exp(-x.2);quad(y,0,1)trapz(x,y)输出：ans=0.746211ans=0.746826,MATLAB命令梯形方法trapz(x,y)抛物线方法quad(f,a,b),如求积分的近似值,梯形方法,分析：,条件：,当区间划分为n等分时,trapz(x,y),复化梯形方法,当区间等距划分为n个子区间时,现对每个子区间再二等分，得到2n个子区间,举例,求Pi的近似值.,取,运用复化梯形算法,输入初值：,输出结果：STOP,No,Yes,clear;a=0;b=1;f=inline(4/(1+x*x);t1=(b-a)/2*(f(a)+f(b);er=1;n=1;whileer1.0e-6h=(b-a)/n;s=0;fori=1:ns=s+f(a+i*h-h/2);endt2=(t1+h*s)/2;er=abs(t2-t1);fprintf(t=%.6f,r=%.6fn,t2,er);n=2*n;t1=t2;end,抛物线方法,分析：,条件：,梯形法是对每个子区间用梯形面积近似曲线下面积累加而成；而抛物线法是对每个子区间考虑其中点，用三点决定的抛物线下面积来近似.,当区间划分为n(n1)等分时,辛浦生(Simpson)方法,clear;a=0;b=1;f=inline(4/(1+x*x);t1=(b-a)/2*(f(a)+f(b);er=1;s1=0;n=1;,whileer1.0e-6h=(b-a)/n;s=0;fori=1:ns=s+f(a+i*h-h/2);endt2=(t1+h*s)/