《无穷小无穷大》PPT课件

,第2章,2.3.2无穷小量的比较与运算法则,2.3.3等价无穷小及其应用,2.3.1无穷小量的概念,2.3,机动目录上页下页返回结束,无穷小与无穷大,2.3.4无穷大量,是(当,2.3.1无穷小量的概念,定义:,则称变量u为该极限过程中的无穷小量。,例如:,故函数,是(当,时的)无穷小；,故数列,时为)无穷小；,故函数,是(当,时为)无穷小；,机动目录上页下页返回结束,约定：,某个给定的极限过程中变量u的极限.,当自变量,时，它表示函数的极限；,当自变量取正整数时，它表示数列的极限。,注：,简称无穷小。,若,记作：,则称v为该极限过程中的一有界量，,记作：,若,函数,是(当,时为)有界量。,）不能忽略极限过程谈论无穷小量；,）除了常数0之外，任何非零常数均不是无穷小量。,机动目录上页下页返回结束,注明:,）约定：无穷小量均为取非零值的变量。,为讨论问题的方便，一般地，视自变量的变化状态而选取无穷,的度量尺度（基本无穷小）为：,当,时；,当,时；,当,时；,定理：,定理(函数极限与无穷小的关系),证:,且,且,）有限个无穷小量的和（积）仍为无穷小量；,机动目录上页下页返回结束,）有界量与无穷小量的积是无穷小量。,推论：常数与无穷小量的积是无穷小量；,有限个无穷小量的线性组合仍是无穷小量。,且,都是无穷小,2.3.2无穷小量的比较与运算法则,例如.当,但,因此，有必要对它们作进一步的分析与研究。这里提出了,机动目录上页下页返回结束,尽管各无穷小量的极限均相同（为0）,但在同一极限过程,中它们趋于零的快慢程度（速度）、方式并非完全一致。,两个方面的问题：,.确立一套比较原则（方法），即如何比较的问题；,.选定一个比较标准或称为比较尺度（基本无穷小），,即用什么作比较的问题。,时，,定义：,）若,则称u是比v高阶的无穷小,）若,）若,）设为该极限过程的基本无穷小，,或,记作：,（或称v是,则称u与v是同阶的无穷小，,则称u是k阶无穷小，,则称u与v是等价的无穷小,机动目录上页下页返回结束,设同一极限过程中,记作：,记作：,称为无穷小u的主部。,无穷小u的阶；,记作：,若,k称为,比u低阶的无穷小），,C为常数，,显然,即,例如,当,时,又如，,故,时,是（关于x的）2阶无穷小,其主部是：,机动目录上页下页返回结束,即,注明：,并不是任意的两个无穷小都可以进行比较的。,例如：,均是无穷小(x0),但两者是无法比校的。,无穷小量的运算：,定理：,设同一极限过程中的,C为非零常数，,则,机动目录上页下页返回结束,2.3.3等价无穷小及其应用,证:,即,例如,故,机动目录上页下页返回结束,定理1.,设在同一极限过程中：,则,（和取低阶的原则）,当,时，,即,定理2.（等价替换原理）,则,证:,机动目录上页下页返回结束,）积(商)替换：,设,）和(差)替换：,设,w为一表达式，,则,)的证明不难，同学自证，下只证）,例1.,机动目录上页下页返回结束,计算下列极限：,例2.求,解:,机动目录上页下页返回结束,3.3.4无穷大量,定义：,则称函数,（当,时）为无穷大，,使得,若在定义中将式改为,记作,记作,存在着,机动目录上页下页返回结束,则称函数,（当,时）为正无穷大，,若在定义中将式改为,记作,则称函数,（当,时）为负无穷大，,注意:,1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!,例如,函数,当,但,不是无穷大!,机动目录上页下页返回结束,例3.证明,证:任给正数M,要使,即,只要取,则对满足,的一切x,有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线.,渐近线,说明:,机动目录上页下页返回结束,定理：（无穷小与无穷大的关系）,变量u为某一极限过程的无穷大量的充分必要条件是：,变量,为同一极限过程的无穷小量。,据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.,说明:,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.无穷小与无穷大的定义,2.无穷小与函数极限的关系,Th2.6.1,3.无穷小与无穷大的关系,Th2.6.4,第五节目录上页下页返回结束,4.无穷小的比较：,设,为同一极限过程中的两个无穷小，且满足：,是的高阶无穷小,是的低阶无穷小,是的同阶无穷小,是的等价无穷小,是的k阶无穷小，,k称为无穷小的阶，,内容小结,1.无穷小与无穷大的定义,2.无穷小与函数极限的关系,3.无穷小与无穷大的关系,第五节目录上页下页返回结束,4.无穷小的比较,设,为同一极限过程的无穷小量，,是的高阶无穷小,是的低阶无穷小,是的同阶无穷小,是的等价无穷小,是的k阶无穷小,内容小结,4.无穷小的比较,设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且,是的高阶无穷小,是的低阶无穷小,是的同阶无穷小,是的等价无穷小,是的k阶无穷小,机动目录上页下页返回结束,例1.证明:当,时,证:,机动目录上页下页返回结束,(3)因式代替规则:,界,