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文档简介

第二节数列的极限,一、数列极限的概念二、收敛数列的性质三、小结,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,播放,刘徽,一、数列极限的概念,正六边形的面积,正十二边形的面积,正形的面积,2.截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,例如,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,播放,问题:,当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,定义1设有数列，如果时，无限接近于某个确定的常数，那么就称数列收敛，称是数列的极限。或者称数列收敛于，记为,如果这样的常数不存在，就称数列没有极限，或者称数列发散，习惯上也常常表达为不存在,例1给出数列的一般项如下，观察它们的变化趋势，判断哪些数列收敛，哪些数列发散；如果收敛，指出其极限：,解（1）因为，而当时，无限接近于0，从而无限接近于1，所以,（2）因为,当时，无限接近于。所以,（3）因为数列是2，0，2，0，,在时，始终轮流地取得值2与0，并不接近于任何一个确定的常数，所以,（4）因为当时，这个数列的一般项的值无限地增大，也不接近于任何一个确定的常数，所以,1.唯一性,定理1每个收敛的数列只有一个极限.,二、收敛数列的性质,2.有界性,例如,有界;,无界.,定理2收敛的数列必定有界.,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论无界数列必定发散.,例2,证,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,3.收敛数列的保号性,定理3（收敛数列的保号性）如果(或N，都有,这个性质的一个直接推论是：如果从某一项起数列的各项都非负（或都非正），且，那么,三、小结,数列:研究其变化规
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