双曲线及其标准方程习题

学业水平训练1动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C两条射线 D一条射线解析：选D.依题意|PM|PN|2|MN|，所以点P的轨迹不是双曲线，而是一条射线2若方程1表示双曲线，则k的取值范围是()A(5,10) B(，5)C(10，) D(，5)(10，)解析：选A.由题意得(10k)(5k)0，解得5k10.3以椭圆1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是()A.y21 By21C.1 D.1解析：选B.椭圆1的焦点为F1(0,1)，F2(0，1)，长轴的端点A1(0,2)，A2(0，2)，所以对于所求双曲线a1，c2，b23，焦点在y轴上，双曲线的方程为y21.4在方程mx2my2n中，若mn0，则方程表示的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆 B焦点在x轴上的双曲线C焦点在y轴上的椭圆 D焦点在y轴上的双曲线解析：选D.将方程化为1.5若点M在双曲线1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|3|MF2|，则|MF2|等于()A2 B4C8 D12解析：选B.双曲线中a216，a4,2a8，由双曲线定义知|MF1|MF2|8，又|MF1|3|MF2|，所以3|MF2|MF2|8，解得|MF2|4.6设m是常数，若点F(0,5)是双曲线1的一个焦点，则m_.解析：由点F(0,5)可知该双曲线1的焦点落在y轴上，所以m0，且m952，解得m16.答案：167已知双曲线的焦点分别为(0，2)、(0,2)，且经过点P(3，2)，则双曲线的标准方程是_解析：由题知c2，又点P到(0，2)和(0,2)的距离之差的绝对值为2a，2a|2，a1，b2c2a23.又焦点在y轴上，双曲线的方程为y21.答案：y218在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为_解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：49求满足下列条件的双曲线的标准方程(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，4)和(，5)(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)解：(1)由已知，可设所求双曲线方程为1(a0，b0)，则解得所以双曲线的方程为1.(2)设双曲线方程为1(a0，b0)由题意知c2.因为双曲线过点(3，2)，所以1.又因为a2b2(2)2，所以a212，b28.故所求双曲线的方程为1.10焦点在x轴上的双曲线过点P(4，3)，且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程解：因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，F1(c,0)，F2(c,0)因为双曲线过点P(4，3)，所以1.又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，所以0，即c2250.解得c225.又c2a2b2，所以由可解得a216或a250(舍去)所以b29，所以所求的双曲线的标准方程是1.高考水平训练1已知双曲线1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1x轴，则F1到直线F2M的距离为()A. B.C.D.解析：选C. 不妨设点F1(3,0)，容易计算得出|MF1|，|MF2|MF1|2.解得|MF2|.而|F1F2|6，在直角三角形MF1F2中，由|MF1|F1F2|MF2|d，求得F1到直线F2M的距离d为.2已知双曲线的两个焦点F1(，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且0，|PF1|PF2|2，则双曲线的标准方程为_解析：由题意可设双曲线方程为1(a0，b0)由0，得PF1PF2.根据勾股定理得|PF1|2|PF2|2(2c)2，即|PF1|2|PF2|220.根据双曲线定义有|PF1|PF2|2a.两边平方并代入|PF1|PF2|2得20224a2，解得a24，从而b2541，所以双曲线方程为y21.答案：y213设圆C与两圆(x)2y24，(x)2y24中的一个内切，另一个外切求C的圆心轨迹L的方程解：设两圆(x)2y24，(x)2y24的圆心分别为F1(，0)，F2(，0)，两圆相离，由题意得|CF1|CF2|42|F1F2|，从而得动圆的圆心C的轨迹是双曲线，且a2，c，所以b1，所求轨迹L的方程为y21.4如图，若F1，F2是双曲线1的两个焦点(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积解：双曲线的标准方程为1，故a3，b4，c5.(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6，解得x10或x22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|PF2|PF1|2a6，两边平方得|PF1