《曲面与曲线》PPT课件

第六节曲面,一、柱面和旋转曲面,二、空间曲线及其方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,四、空间区域在坐标面上的投影区域,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0满足：,(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程；,(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；,则称方程F(x,y,z)=0为曲面S的方程,而曲面S就叫做方程F(x,y,z)=0的图形,研究空间曲面有两个基本问题,(2)已知坐标间的关系式,研究曲面形状,(1)已知曲面作为点的轨迹时,求曲面方程,(由几何特征确定曲面方程),(由曲面方程研究几何特征),例1求以点M0(x0,y0,z0)为球心,半径为R的球面方程.,例2方程x2+y2+z22x+4y=0表示怎样的曲面.,解配方得,此方程表示:,以点M0(1,2,0)为球心,半径为,的球面.,一、柱面与旋转曲面1、柱面(cylinder),例x2+y2=R2在空间表示怎样的曲面.,点M(x,y,z)的坐标也满足方程x2+y2=R2,解,在xoy面上,x2+y2=R2表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面上所有点的坐标都满足此方程,此曲面称为圆柱面.,对任意z,过此点作平行z轴的直线l,故在空间中x2+y2=R2表示圆柱面.,在圆C上任取一点M1(x,y,0),定义平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.,曲线C叫做准线,直线l叫做母线.,一般地,不完全三元方程(x,y,z不同时出现)在空间直角坐标系中表示柱面,方程F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面.,准线为xoy面上的曲线F(x,y)=0.,方程(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面.,准线为yoz面上的曲线(y,z)=0.,方程(z,x)=0表示母线平行于y轴的柱面.,准线为xoz面上的曲线(z,x)=0.,表示母线平行于z轴的抛物柱面.,准线为抛物线,表示母线平行于y轴的椭圆柱面.,准线为椭圆,表示母线平行于x轴的双曲柱面.,准线为双曲线,例指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？,平面解析几何中,空间解析几何中,过点(2,0)且平行于y轴的直线.,方程,过点(2,0,0)且平行于yoz面的平面.,圆心在点O(0,0),半径为2的圆,过点(0,1)且斜率为1的直线,过点(0,1,0)且平行于z轴的平面.,2、旋转曲面(surfaceofrevolution),定义平面上的曲线C绕其平面上一条定直线l旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.,曲线C称为旋转曲面的母线,定直线l称为旋转轴.,点M到z轴的距离,得方程,yoz坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.,曲线绕z轴旋转而成的旋转曲面方程为,绕y轴旋转而成的曲面方程为,例1,绕y轴旋转而成的旋转曲面方程为,绕z轴旋转而成的旋转曲面方程为,旋转椭球面,绕y轴旋转而成的旋转曲面方程为,绕x轴旋转而成的曲面方程,绕z轴旋转而成的旋转曲面方程为,绕x轴旋转而成的曲面方程,例2,绕x轴旋转而成的旋转曲面方程为,双叶旋转双曲面,绕z轴旋转而成的旋转曲面方程为,单叶旋转双曲面,旋转抛物面,例4下列曲面方程是否表示旋转曲面?若是,是如何形成的?,解,1.是旋转曲面.,或：,2.不是旋转曲面.,试建立顶点在坐标原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.,解,绕z轴旋转时,圆锥面的方程为,空间曲线的一般方程,空间曲线可看作空间两曲面的交线.,三、空间曲线及其方程1、空间曲线的一般方程,例如方程组,表示圆柱面x2+y2=1与平面2x+3y+3z=6的交线.,交线为椭圆.,例1方程组表示怎样的曲线？,解,与圆柱面,的交线.,表示上半球面,空间曲线的参数方程,2、空间曲线的参数方程,当给定t=t1时,就得到曲线上的一个点(x1,y1,z1),随着参数t的变化可得到曲线上的全部点.,例2如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中、v都是常数),那么点M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.,解,动点从A点出发,经过t时间,运动到M点,取时间t为参数,点M在xoy面的投影点N(x,y,0),螺旋线的参数方程,螺旋线的参数方程还可以写为,螺旋线的重要性质：,上升的高度与转过的角度成正比即,上升的高度,螺距,如何将曲线的一般方程：(*)化为参数方程？,(1)先从一般方程(*)中消去某个变量,比如z,得方程H(x,y)=0,写出其参数方程x=x(t),y=y(t).再把x=x(t),y=y(t)代入(*)中的某个方程解出z=z(t),最后在确定t的变化区间,就得到了曲线的参数方程.,例3把曲线用参数方程表示.,(2)在一些特殊情形,(*)中的某个方程是不完全三元方程(即方程中缺了一个未知量),则可先将这个方程化为参数方程,再将所得结果代入(*)中的另一个方程,即可求得曲线的参数方程.,例4将曲线化为参数方程.,消去变量z后得：,曲线对xOy面的投影柱面,设空间曲线的一般方程为：,投影柱面的特征：以此空间曲线为准线,垂直于所投影的坐标面.,四、空间曲线在坐标面上的投影,以空间曲线为准线,母线垂直于xOy面的柱面叫做曲线对xOy面的投影柱面,空间曲线在xOy面上的投影曲线,曲线在yoz面上的投影柱面和投影曲线：,曲线在zox面上的投影柱面和投影曲线：,类似地：可定义空间曲线：在其他坐标面上的投影柱面和投影曲线.,例1求曲线在xoy面的投影柱面及投影曲线方程.,例2求曲线在xoy面及yoz面的投影曲线方程.,例3把曲线方程转换为母线平行于坐标轴的柱面的交线方程,四、空间区域在坐标面上的投影区域,例1,解,二者交线为,当立体边界曲面的点与在某坐标面上的投影区域内的点一一对应(即不同点在该坐标面的投影点不同)时,求该立体在此坐标面投影区域的一般方法：,(1)求边界曲面的交线在此坐标面的投影曲线,(2)投影曲线在此坐标面所围成的闭区域(用不等式表示).,例2分别求由上半球