《机器人第四章》PPT课件

第四章操作臂逆运动学,4.1概述4.2可解性4.3当n6时操作臂子空间的描述4.4代数解法与几何解法4.5通过化简为多项式的解法4.6三轴相交的PIEPER解法（阅读）4.7PUMA560机器人的逆运动学问题（阅读）4.8标准坐标系4.9重复精度和定位精度4.10计算问题,2,4.1概述,操作臂的逆运动学：已知操作臂末端笛卡尔空间的位置和姿态，如何计算一系列满足期望要求的关节角。,即已知齐次矩阵：H,求出满足要求的关节变量：,3,4.2可解性,求解操作臂的逆运动学是一个非线性方程。,对于PUMA560中，旋转矩阵生成9个方程，只有3个是独立的（因为正交矩阵只有三个独立参数）。再加上位置生成3个方程，共6个方程，6个未知数，是一个非线性超越方程。,对于PUMA560中，有意义的方程一共12个。因为齐次矩阵最后一行为0001。,4,解的存在性,工作空间：操作臂末端执行器所能达到的范围。,灵巧工作空间：操作臂末端执行器能够从各个方向达到的空间区域。,可达工作空间：操作臂末端执行器至少从一个方向有一个方位可以达到的空间区域。,灵巧工作空间是可达工作空间的一个子集。,5,如果可达工作空间为半径为的圆。而灵巧工作空间仅为单独的一点（圆心）。,如果则不存在灵巧工作空间，而可达空间为半径为的圆环。,如果，而，则工作空间同上（圆环）而此时仅有一个方位可以达到工作空间的每一点。,当一个操作臂少于6个自由度时，它在3维空间内不可能达到全部位姿（因为至少需要6个自由度）。上图中操作臂不能伸出平面，因此凡是Z坐标不为0的点均不可达。,6,一个值得研究的问题是：对于少于6个自由度的操作臂，它的工作空间是什么？给定一个确定的一般坐标系，什么是最近的可达目标坐标系。,用户关心的是工具坐标系T的工作空间，而一般常去研究腕部坐标系W的工作空间。我们研究的工作空间和用户关心的工作空间是有区别的。但问题的实质是一样的，即操作臂的逆运动学问题（InverseKinematics）。,如果腕部坐标系的期望位姿在这个工作空间内，那么至少存在一个解。,7,对于三连杆平面操作臂，虚线表示第二个解。此问题存在两个解。,多重解问题（解的唯一性问题）,8,对于多解问题，应选择最小行程解。例如处于A点想要达到B点，就选择上部虚线。这样相当于对逆运动学程序中输入一个小的位移即可。,最小行程解可能有几种确定方式。例如，有3个大的连杆，附带有3个小的连杆。选择侧重于小的连杆，而不是大的连杆。但有障碍物的情况下，只能选择较长行程解。,9,解的个数取决于操作臂的关节数量，它是连杆参数和关节运动范围的函数。,PUMA560机器人到达一个确定目标有8个不同的解，下图列出4个解，另外4个是：,10,连杆的非零参数越多，达到某一特定目标的方式越多；对于一个全部为旋转关节的6自由度操作臂来说，可能多大16种解。,11,解法,如果关节变量能够通过一种算法确定，这种算法可以求出与已知位姿相关的全部关节变量，称操作臂是可解的。,解法分为两大类：（1）封闭解：有限次初等运算得到的解；（2）数值解：经过迭代得到的解。,12,封闭解又称解析解，可以分为：（1）代数法（2）几何法,所有包含旋转关节和移动关节串连型6自由度机构是可解的。但一般为数值解。只有在极少情况下存在解析解。存在解析解的操作臂具有如下特性：存在几个正交轴或平行轴。数值解一般比解析解耗时，因此在操作臂虚拟设计应该考虑这个问题。,具有6个旋转关节的操作臂存在封闭解的充分条件是相邻的三个关节轴相交于一点。,13,4.3当n6时操作臂子空间的描述,对于一个n自由度操作臂（n6）,可达工作空间可看成是n自由度子空间的一部分。下图为3R操作臂的子空间,式中x,y给出了腕关节的位置，给出了末端连杆的姿态。当x,y和可以取任意值时，就得到了子空间。,14,例：如下图给出两自由度极坐标操作臂的子空间,解：一旦给定了x,y，的方向也就确定了，的方向向下，从而根据右手规则：,已知：,15,现在：,根据第二章旋转矩阵的写法：,则齐次矩阵为：,16,得到：,对于具有n个自由度操作臂的目标点进行定义，通常采用n个参数来确定这个目标点。也就是说，确定的目标点有6个自由度，一般自由度n6的操作臂是无法达到这个目标点的，在这种情况下，可寻找一个位于操作臂子空间内的可达目标点代替原目标点，并且和原目标点尽可能接近。,17,4.4代数解法和几何解法,代数解法以3R操作臂为例,18,19,由于是平面操作臂，其变换形式只能是这种形式：,现在的问题是：已知上述矩阵，并令和上述矩阵相等，如何求：,20,首先写出矩阵元素对应方程：,最后两行平方相加：,利用下述公式：,21,得到,这要求上式右端的值在-1和1之间（利用这个约束可以检查解是否存在）。便可求得正弦值：,这样就得到,下面求,22,首先展开最后两个等式：,其中：,作如下的变换,则有：,4.1,23,代入,再根据余弦、正弦倍角公式：,再根据带象限的反正切公式：,24,这样就得到,利用前两个等式，得到,由于已经求出，这样就得到,这相当于操作臂的逆运动学逆问题就解决了。,25,几何解法,求解方法是：将操作臂的空间几何参数分解成平面几何参数。然后应用平面几何方法进行求解。,本例为3R操作臂，连杆在同一平面内，可以直接进行求解。,本例连杆、连杆以及坐标系0和坐标系3的连线构成一三角形，虚线表示另外一种情况。根据余弦定理：,注意，夹角的计算。,26,利用,得到,为了要求构成三角形，即要求：,必须满足条件：,取值范围为：,上述方程的另外一个解为：,这样就求得了,27,下面求,根据图，利用反正切公式和余弦公式可知,因为是三角形的内角，规定,就得到：,其中正负号的取值和的取值相对应：,上式取+,上式取-,28,平面内的旋转角度是可以相加的，因此,而,这样就求得。,29,4.5通过化简为多项式的解法,把超越方程变换为代数方程,利用万能公式：,就可以化为多项式方程。,30,例：求解下述方程：,按照上述公式展开：,化简,解得,得到：,31,如果,对于4次（或低于4次）的多项式一定存在封闭解，可以用4次（或低于4次）的多项式方程求解的操作臂，称为封闭操作臂。,32,4.6三轴相交的PIEPER解法,Pieper研究了3轴（最后三个轴）相交于一点的6R操作臂。,最后三个轴456相交于一点.,利用D-H参数上述只利用了平移，没有旋转，所以没有出现角度,33,进一步计算得到：,利用D-H参数展开得：,式中：,34,现在写出：平方的表达式：可以看出：,再一次利用D-H参数展开得：,式中：,35,得到：,写出r和z方向的方程：,式中：,36,现在求解,（1）仅为的函数，可以用万能公式求解。,（2），再次利用万能公式进行求解。,（3）否则，消除得到：,利用万能公式，得到一个四次方程。进而可以求解。,37,现在已经求解出：,再根据：,求出：,再根据：,求出：,这样就求出：,38,现在求解：,因为已经求出，所以可以求出。,从而,求出。这是一个3个Euler角的旋转矩阵,根据第二章,便可求出：,39,4.7PUMA560机器人的逆运动学问题,当PUMA560已知，通过下列方程,求解：,40,将含有的部分移到方程的左边：,将转置，得到：,令上述等式的元素（2，4）相等，在（313）中为：，这样得到：,41,利用三角恒等变换：,式中,因此,即,42,从而得到,因此,因此的解为：,43,平方相加并且和课本（457）平方相加，得到,现在已知。令课本式（456）中元素（1，4）和（3，4）元素相等（注意课本（313）中的表达式）,其中,44,采用同样的方法，得到的解：,重新整理（454），使公式左边只含有为变量,即,45,式中由第3章的式（311）确定。令上式两边的元素（1，4）和元素（2，4）相等，得到,联立方程得：,46,上式分母相等，且均为正数，则：,根据和解的4种可能，根据上式计算4个值：,令课本（457）中两边的元素（1，3）和（3，3）分别相等，得,47,只要，便可得出,当时，操作臂处于奇异位形，此时关节轴4和关节轴6成一条直线，机器人末端连杆的运动只有一种。在这种情况下，所有结果（所有可能的解）都是和的和或差.,注意上式要求，即要求：,改写式（454），使公式左边均为已知的函数：,由下式给出,48,令（477）两边的元素（1，3）和元素（3，3）分别相等，得到，,由此可以得出,49,令（481）两边的元素（1，1）和元素（3，1）分别相等，得到：,再次利用上述方法，可以计算出，并将（454）写成如下的形式：,式中：,50,由于在式（464）和式（468）中出现了号，因此这些方程可能有4种解。另外由于操作臂的翻转可得到另外4种解，由腕关节的翻转可得到,当计算出所有8种答案以后，由于关节运动范围的限制要将其中的一些解（甚至全部）舍去。在余下的有效解中，通常选取一个最接近于当前操作臂的解。,51,52,4.8标准坐标系,基坐标系B工作台坐标系S腕坐标系W工具坐标系T目标坐标系G,53,1由用户确定工作台坐标系的位置，这个坐标系可能在工作台的角点上。工作台坐标系S是相对于基坐标系B定义的。,54,2由用户确定工具坐标系T。以不同的方式抓持相同的工具，工具坐标系T的定义是不同的。工具坐标系T是相对于腕坐标系W定义的。,3由用户确定目标坐标系G。在许多系统中，工具坐标系定义是一个常量。,4机器人运动需要计算一系列关节角，工具坐标系从初始位置运动到T=G时结束。,55,4.9操作臂求解,SOLVE可以作为逆运动学函数，SOLVE利用工具坐标系和工作台坐标系的定义来计算W相对于B的位置,然后，逆运动学将作为输入，计算。,56,4.10重复精度和定位精度,定位精度是指：操作臂实际达到的位置与目标位置之差。,重复定位精度是指：操作臂重复定位于目标位置的能力。,示教点：操作臂运动实际达到的点。,计算点：从未示教