《极值与最值》PPT课件

2020/5/16,微积分-多元极值与最值,1,上课,手机关了吗？,2,一元极值：,1.定义,2.必要条件,x0为f(x)的极值点,(驻点),即:,但:极值点驻点不可导点,(极值嫌疑点),注:条件不充分.,x0是f(x)的极值点且存在,3.充分条件,(一)、(二),4.求单调区间及极值步骤,一元最值：,1.闭区间a,b上连续函数的最值,2.连续函数f(x)在(a,b)内唯一极值点即为最值点,3.最值实际问题,8.6多元函数的极值与最值,、多元函数极值,1定义设zf(x,y)在点(x0,y0)某邻域有定义，若对该邻域内异于(x0,y0)在点(x,y)，都有f(x0,y0)f(x,y)(f(x0,y0)0:f(x0,y0)不是极值。(3)B2AC0:无法下结论(需用定义判别)。,求极值(点)步骤：,(1)求驻点及偏导数不存在的点(极值嫌疑点)；,(2)若无不可导点，可考虑用二阶导数判别；否则用定义将上述点函数值与各自邻域内点函数值比较.,解:,例1.求函数f(x,y)x3y33x23y29x的极值.,驻点:(3,0)，(3,2)，(1,0)，(1,2)(注意配对!),(3,0):B2AC(12)60，故不是极值点,(3,2):B2AC(12)(6)z(0,0)0,2020/5/16,微积分-多元极值与最值,8,二、多元函数最值,1.定义区域D上连续函数zf(x,y)，(x0,y0)D,若对任意(x,y)D，f(x0,y0)()f(x,y)，则称f(x0,y0)为f(x,y)在D上的最大(小)值，(x0,y0)为最大(小)值点。最大值与最小值统称为最值；最大值点与最小值点统称为最值点。最值概念是一个整体概念。,2.求最值(点)将D内驻点、偏导数不存在的点与边界上点的函数值比较，取最大(小)者。,特别地，实际问题唯一驻点即为所求最值点.,2020/5/16,微积分-多元极值与最值,9,解：,例体积为2的长方体箱子(有盖)，如何安排长、宽、高可使用料最省？,V23.设长、宽分别为x、y，则高为2/xy,用料A2xyy(2/xy)x(2/xy)2(xy2/x2/y).,据题意,所用材料面积的最小值一定存在,并在开区域x0,y0内取得,(x0,y0)为唯一驻点,必为最小值点.即当长、宽、高均为时,所用材料最省.,P293例2、例3,2020/5/16,微积分-多元极值与最值,10,三、条件极值、拉格朗日乘数法,附有限制条件的极值问题称为条件极值问题。,例求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.,(解法一)求Vxyz(x0，y0，z0)在限制条件,下的最大值.,(*),由(*)代入V(x,y,z),转化为求(x0,y0)的最大值,有时从限制条件里解出一个变量不易,须另找方法.,2020/5/16,11,则问题等价于一元函数z=f(x,(x)的极值问题,故极值点必满足,如方法一所述,设(x,y)=0可确定隐函数y=(x),记,故有,拉格朗日乘数法:,问题:求函数z=f(x,y)在条件(x,y)=0下的极值.,极值点必满足,2020/5/16,微积分-多元极值与最值,12,引入辅助函数,辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,则极值点满足:,注：拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,由问题的实际意义知解方程组所得的唯一极值可疑点即为所求条件极值的最值点.,2020/5/16,微积分-多元极值与最值,13,(解法二)设,唯一的极值点，也是最大值点。故,表面积为a2的长方体中,以棱长为的正方体的体积最大，最大体积为,P296例5,14,例企业在两个相互分割的市场上出售同一产品,两市场的需求函数分别是p1=182Q1,p2=12Q2,其中p1和p2分别表示该产品在两个市场的价格(单位:万元/吨)，Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量,单位:吨)，该企业生产这种产品的总成本函数是C2Q5，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即QQ1Q2.(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润;(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.,15,解(1),2Q12Q2216Q110Q25.,令,解得Q1=4,Q2=5,因驻点(4,5)唯一,且实际问题一定存在最大值,故最大值必在驻点处达到，所以最大利润为,L(4,5)=242521641055=52(万元),LRCp1Q1+p2Q2(2Q5),此时p1=10(万元/吨),p2=7(万元/吨).,16,(2)若实行价格无差别策略,则p1=p2,即:有约束条件,令,解得Q1=5,Q2=4,=2,最大利润L=25242+165+1045=49(万元),此时p1=p2=8(万元/吨).,2Q1Q26,构造拉格朗日函数,F(Q1,Q2,)2Q12Q2216Q110Q25,(2Q1Q