《无穷大小》PPT课件

2020/5/16,微积分-无穷大量与无穷小量,1,上课,2020/5/16,微积分-无穷大量与无穷小量,0N,正整数N,|x|X,X0,x0,xX,d0,0x0x0,0xx00,2020/5/16,微积分-无穷大量与无穷小量,3,绝对值无限增大的变量称为无穷大(量).,一、无穷大量,1.定义:,记作:,分析定义:,0M,M0,|x|X时,X0,有|f(x)|M,M0,2.3无穷大量与无穷小量,f(x)在X上无界,比较:,2020/5/16,微积分-无穷大量与无穷小量,4,3.单说变量是无穷大量是无意义的，要指明自变量的变化过程。,注意,1.无穷大量是变量,不能与很大的数混淆;,4.无穷大量是无界变量,但无界变量未必是无穷大量.,当n是无界变量,但不是无穷大量;,例:,f(x)xsinx,当x是无界变量,但不是无穷大量.,2020/5/16,微积分-无穷大量与无穷小量,5,2020/5/16,微积分-无穷大量与无穷小量,6,2.正无穷大、负无穷大:,注：正(负)无穷大不可笼统地写作无穷大;,例:,2020/5/16,微积分-无穷大量与无穷小量,7,图示：,2020/5/16,微积分-无穷大量与无穷小量,8,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小(量).记作:,二、无穷小量,分析定义:,00,|x|X,2020/5/16,微积分-无穷大量与无穷小量,9,例如,注意,1.无穷小量是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小量的唯一的数；,3.单说变量是无穷小量是无意义的，要指明自变量的变化过程。,ex当时是无穷小量;lnx当时是无穷小量.,x-,x1,2020/5/16,微积分-无穷大量与无穷小量,10,2.变量极限与无穷小量的关系:,证,仅对xx0的情形证明。,|f(x)-A|e,0|x-x0|d时,|(x)|e,0|x-x0|d时,即|f(x)-A|e,定理,2020/5/16,微积分-无穷大量与无穷小量,11,3.无穷小的运算性质:,(1)有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量.,证,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,X1时,有|X2时,有|.,2020/5/16,微积分-无穷大量与无穷小量,12,(3)无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量.,证,(2)有限个无穷小的乘积仍为无穷小量.,0|xx0|d2时,|(x)|0,结论？,思考!,2020/5/16,微积分-无穷大量与无穷小量,14,4.无穷小量阶的比较,例如,极限不同,反映了它们趋近于零的“快慢”程度不同.,两个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量。商呢?,=0,=3,=1,无穷小量的商未必是无穷小量。,2020/5/16,微积分-无穷大量与无穷小量,15,定义:,例,注：常数零是比任何其它无穷小量更高阶的无穷小量。,(后面我们会利用等价无穷小量简化某些极限的计算),2020/5/16,微积分-无穷大量与无穷小量,16,定理在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.,证,三、无穷大量与无穷小量之间的关系,意义:关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,2020/5/16,微积分-无穷大量与无穷小量,17,当时是无穷大量;,当时是无穷小量.,当时是无穷大量;,当时是无穷小量.,x1,或x2,x,x,x+,练习:,无穷大:,ln(2x)记作lnt为无穷小,t2x1,无穷小:,ln(2x)记作lnt为无穷大,t2x+,x或x2,x1,或t2x0,2020/5/16,微积分-无穷大量与无穷小量,18,试说出下列极限的数学定义：,P677(6),2020/5/16,微积分-无穷大量与无穷小量,19,解答,1.不能保证.例,2.未必例,不存在且不为无穷大,思考题:,2.任何两个无穷小量都可以比较阶的高低吗？,故当x0时,无穷小与x不可以比较阶的高低,2020/5/16,微积分-无穷大量与无穷小量,20,小结,1.主要内容:,三个定义;两个定理;四个性质;一个推论.,2.几点注意:,无穷小量与无穷大量是相对于过程而言的.,(1)无穷小(大)量是变量,不能与很小(大)的数混淆,零是唯一的无穷小的数；,(2)无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小;,(3)无界变量未必是无穷大量.,3.无穷小量的比较:,反映了同一过程中,两个无穷小量趋于零的速度快慢.,高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.,2020