第7讲-消元问题

消元问题消元问题是指消去或去掉某一个未知数的意思。当数学问题中只有一个未知数时，我们可以采用一般的数学方法进行解答，当数学问题中的未知数多的时候就要用消元的方法进行解答, 这种解题方法叫做消元法，也叫消去法，这类应用题叫消去应用题。常用的消元法有“加减消元法”、“代入消元法”、“比较消元法”等。【例1】父亲与儿子的年龄加起来是51岁，母亲与儿子的年龄加起来是47岁，父母子的年龄加起来是87岁，求父、母、子各人的年龄？分析：根据题意，可以找到三人之间的年龄关系 父+子=51（岁） 母+子=47（岁） 父+母+子=87（岁）式中“父”、“母”、“子”代表三人的年龄数，这三个式子不难发现，87与 51的差就是母亲的年龄，可以通过下面方式来表达.父 + 母 + 子 = 87父 + 子 = 51 母 = 36同样的方式可求父亲的年龄父 + 母 + 子 = 87 母 + 子 = 47 父 = 40儿子的年龄就可以求出来了解：87-51=36（岁）母亲年龄87-47=40（岁）父亲年龄51-40=11（岁）儿子年龄答：父亲的年龄是40岁，母亲的年龄是36岁，儿子的年龄是11岁。【例2】A、B两数之和为154，A的6倍与B的2倍之差为340，求A、B两个数.分析: 根据题意知：A+B=154， 6A-2B=340 根据这两个式子，不能直接消元，为此我们可以将A+B=154扩大2倍， 变为2A+2B=308，这样就将两个式子中的一个未知数消掉了. 2 A + 2 B = 308 + 6 A - 2 B = 340 8 A = 648 这样A和B分别是几就能很快求出来了。解：（1542+340）（12+6）=6488=81A 154-81=73B答：A为81，B为73。【例3】已知3支金笔与5支铱金笔合起来值76元，又知2支金笔与7支铱金笔合起来值80元，求每种笔每支的价格。分析：根据题意有关系式样 3金+5铱=76（元） 2金+7铱=80（元） 为了能达到消元的目的，我们可通过将2个式子中“金笔”的数扩大成一 致.这样可以先求出铱金笔的价钱，再求金笔的价钱，而将金笔数扩大时， 可以找到3和2的最小倍数是6，所以上面两个式子可以写成 6金 + 21铱 = 240（元） 6金 + 10铱 = 152（元） 11铱 = 88（元）解: (803-762)(73-52)=8(元)铱金笔 (76-85)3=12(元)金笔答：铱金笔每支8元，金笔每支12元。【例4】有大小两种球，6个大的与14个小的共重290克，15个大的与2个小的共重296克，求每个大、小球的重量。分析：依题意有6大+14小=290，15大+2小=296 从上面式子中可以看到，我们可以将大球的个数扩大成一样后，将大球消 去，然后可以先求出小球的重量，再求出大球的重量。 30大 + 70小 = 1450 30大 + 4 小 = 592 66小 = 858解： （2905-2962）(145-22)=85866=13(克)小球 (290-1314)6=18（克）大球答：大球每个18克，小球每个13克。【例5】小明去水果店买水果。原计划买4千克梨和5千克苹果，要付出50元。结果他买了4千克梨和6千克苹果，一共付出56元，求1千克梨多少元？解: (1)实际比计划多买了多少千克苹果? 6-5=1(千克) (2)1千克苹果要多少元? 56-50=6(元) (3)5千克苹果多少元? 65=30(元) (4)4千克梨要多少元? 50-30=20(元) (5)1千克梨要多少元? 204=5(元) 综合算式: (50-(56-50)(6-5)5)4=(50-615)4 =(50-30)4=204 =5(元)答:1千克梨5元.【例6】学生用的课桌椅，买一只椅子和2只桌子价钱是105元，如果买2只椅子和一只桌子价钱是90元，椅子单价是多少元？桌子单价是多少元？分析：先求3只椅子和3张桌子的价钱,再求1只椅子和一张桌子的价钱,进而用减法分别求出1只椅子和一张桌子的价钱.解:1只椅子+2张桌子=105(元) 2只椅子+1张桌子=90(元)由+得:3只椅子+3张桌子=195(元)由得:1只椅子+1张桌子=65(元)由-得:1张桌子=40(元)由-得:1只椅子=25(元)答:一张桌子40元,1只椅子25元.【例7】甲买了3千克苹果，2千克梨，乙买了4千克苹果，3千克梨，丙买了3千克苹，果4千克梨，乙比甲多花5元钱，甲比丙少花4元钱，问甲乙丙各花了多少元？分析： 甲:3千克苹果 2千克梨 乙:4千克苹果 3千克梨 丙:3千克苹果 4千克梨解: 4(4-2)=2(元)1千克梨,假设乙也买的梨2千克与甲同样多,这时 乙少花2元,乙比甲多花5元转化为乙比甲多花(5-2)元,正好是1千克苹 果的价钱3(4-3)=3(元) 甲花的钱:33+22=13(元) 乙花的钱:34+23=18(元) 丙花的钱:33+24=17(元)答：甲花了13元，乙花了18元，丙花了17元。【例8】3袋大米和4袋黄豆重500千克，5袋大米和2袋黄豆重600千克，每袋大米重