《极值和最小二乘法》PPT课件

,1掌握极值和条件极值的定义；2会判别多元复合函数存在的极值和条件极值问题；,第十五章极值和条件极值,教学目标：,15.1极值和最小二乘法,一、极值本节讨论二元函数的极值问题，对于多元情况可类似地讨论.若函数在点的某个领域内成立不等式则称在点取到极大值,点称为函数的极大点;类似地,若在点的某个领域内成立不等式则称在点取到极小值,点称为函数的极小点.,极大值与极小值统称为极值;极大点与极小点统称为极值点.从定义可见,若在点有一极值,则固定后的一元函数必在点有极值.于是由一元函数在极值点的必要条件,可知有同理可知这就是说,对偏导数存在的函数来说,在点有极值的必要条件是对于可谓函数,也就是,这个条件并非充分的.例如函数在点此外,函数在偏导数不存在的点仍然可能有极值.例如由此可见,函数的极值点必为及同时为零或至少有一个偏导数不存在的点.综上所述,要求函数的极值,首先要求出所有使函数的偏导数等于零或偏导数不存在的点,然后根据该点周围函数的变化情形,进一步判定是否有极值,为此我们讨论函数的改变量,若的一切二阶偏导数都连续,则由泰勒公式并注意到在极值点必须就有,由于的一切二阶偏导数在连续,记那么有,于是当二次形式不为零时,注意到时,都是无穷小量,所以存在点的一个邻域,使得在这个邻域内,的符号与的符号相同,而当时,的符号便取决于的符号了.对于二次型它的判别式为,那么有以下结论1、函数有极大值.2、函数有极小值.3、函数无极值.4、需进一步判定.利用代数中关于二次型的理论,很易知道以上结论.这是因为当而时,二次型为负定的,故从而,这表明函数在点,有极大值;当而时,二次型为正定的,故从而,这表明函数在点有极小值;当时,二次型为不定的,所以可正可负,于是函数在点无极值;当时,二次型在某些值上将等于零,于是的符号就必须进一步判断了.对于实际问题,往往可以根据实际意义来判断函数在某点时否为极值以及时极大值还是极小值.例1讨论函数的极值.,例2讨论的极值.例3有一块薄铁皮,宽,把两边折起,做成一槽,求和倾角,使槽的梯形截面的面积最大.例4试在轴,轴与直线围成的三角形闭区域上求函数的最大值.二、最小二乘法在实践中，常常需要根据实际测量得到的系列数据找出函数关系，通常叫做配曲线或找经验公式.这里,介绍一种找直线型经验公式的方法,它是广泛采用的一种处理数据的方法.这方法不难推广到求其他类型经验公式(如二次函数或指数函数)中去.如果点恰恰在直线上,那么应该有,即,这时候函数准确地反应了与的关系.如果不在直线上,那么表示用函数来反应与的关系时所产生的偏差.我们当然希望选择适当的和,使这偏差值越小越好.把测得的一组数据记为,用,表示相应的偏差,这些偏差的平方和叫做总偏差,记为,即它是和的函数.根据问题的要求,我们应该这样确定和,使得总偏差达到最小值.这种确定系数的方法叫做最小二乘法.这里我们不取各个偏差的代数和作为总偏差.这是因为这些偏差本身有正有负,如果简单地取它们的代数和,就可能互相抵消.这时,虽然偏差的代数和很小,却不能保证各个偏差都很小.而按上面偏差,使这些偏差的平方和最小,就可以保证每一个偏差都很