等差数列的性质、求和知识点及训练

等差数列的性质、求和知识点及训练重点：掌握等差数列的通项公式、求和公式以及等差中项的求法难点:对等差数列的综合考察一知识梳理1.定义：（d为常数）（）；2等差数列通项公式： ， 首项:，公差:d，末项: 推广： 从而；3等差中项（1）如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或（2）等差中项：数列是等差数列4等差数列的前n项和公式：（其中A、B是常数） （当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）5等差数列的判定方法 （1）定义法：若或(常数) 是等差数列 （2）等差中项：数列是等差数列 （3）数列是等差数列（其中是常数）。（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。6等差数列的证明方法 定义法：若或(常数) 是等差数列7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）通常把题中条件转化成只含和的等式！8.等差数列的性质：（1）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（2）当时,则有，特别地，当时，则有.(3) 若是等差数列，则 ，也成等差数列 （公差为md ）图示：（4）若等差数列、的前和分别为、，且，则.（5）若、为等差数列，则为等差数列(6)求的最值法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为法二：“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当 由可得达到最大值时的值“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由可得达到最小值时的值或求中正负分界项（7）设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项的和，是前n项的和，则：1.当项数为偶数时，其中n为总项数的一半，d为公差；2、在等差数列中，若共有奇数项项，则注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量【类型1】求等差数列通项【例1】.等差数列中，求.【变式1】四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数.【例2】等差数列中，求通项公式.【变式1】等差数列中，则的值是【变式2】已知等差数列中 ，则【变式3】 等差数列中，则【变式4】若等差数列的前5项和，且，则【例3】已知数列中，=1，则数列的通项公式为 _【变式1】已知数列中，=2,=3，其前 n项和满足 (n2，nN)，则数列的通项公式为 ( ) A=n B= C= n-l D=n+l【例4】在数列和数列中，为数列的前n项和，且满足，数列的前n项和满足，且（1）求数列的通项公式（2）求数列的通项公式【例5】数列中，求数列的通项公式；【类型2】求等差数列前n项和【例1已知为等差数列，为其前项和，若则的值为_【变式1】如果是一个等差数列的前n项和，其中 a，b，c为常数，则c的值为 【例2】（10年全国文6） 等差数列中，那么的前7项和 【变式1】已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于（）A55 B70C85D100【例3】通项公式为，则_【变式1】通项公式为则通项公式为，若其前n项和为10，则项数n为【例4】等差数列中，前n项和记为，求取最小值时n的值.【变式】差数列中，则时有最大值；【类型3】等差数列性质的应用【例1】（1）等差数列中，求的值. （2）等差数列中，求的值.【例2】（2009年辽宁理科14） 等差数列中， 的前n项和为，如果，则【变式1】（2009年辽宁文） 等差数列中，的前n项和为，则【变式2】已知等差数列中，则【变式3】已知数列和的前n项和分别为，且求 的值.【例3】等差数列的前n项和记为，若为一个确定的常数，则下列各数中一定是常数的是（ ）C B C D【变式1】等差数列中，则（ ）C -36 B48 C54 D72【变式2】等差数列中，已知前15项的和，则等于（ ）A B12 C D6【变式3】在等差数列中，若 则 【类型4】证明数列是等差数列【例1】知数列的前n项和为，求通项公式并判断是否为等差数列【例2】在数列中，,设证明是等差数列【例3】已知数列的前n项和为，且满足，求证：数列是等