《曲面积分》PPT课件

1对弧长的曲线积分2对坐标的曲线积分3对面积的曲面积分4对坐标的曲面积分5基本公式：格林公式、高斯公式和斯托克斯公式,一、本章要点,1对弧长的曲线积分,积分形式,积分方法,(1)平面曲线积分,(1)平面曲线积分,(2)空间曲线积分,直角坐标系：设曲线，其中,具有连续导数，则,参数方程：设曲线，其中,具有连续导数，则,极坐标：设曲线，其中,具有连续导数，则,(2)空间曲线积分,具有连续导数，则,设曲线，其中,2对坐标的曲线积分,积分形式,(1)平面曲线设有向曲线，则曲线积分为,(2)空间曲线设有向曲线，则曲线积分为,积分方法,(1)平面曲线,具有连续导数，则,设曲线为，其中,(2)空间曲线,设曲线，,其中具有连续导数，则,3对面积的曲面积分,积分形式,积分方法设曲面的方程为在面上,投影区域为，则,4对坐标的曲面积分,其中：上侧取正，下侧取负,积分形式,积分方法设曲面的方程为在面上,投影区域为，则,5基本公式,1)格林公式,曲线积分与路径无关条件：曲线积分,设是平面上的有界闭区域，函数,在上有连续偏导，则,与路径无关,此时,全微分求积,满足,为全微分,此时,2)高斯公式,设是空间的有界闭区域，函数在上有连,续偏导，则,向量场的散度,3)斯托克斯公式,设为分片光滑曲面，函数在上有连续偏,导，则,向量场的旋度,课内练习:,计算,其中L为圆周,提示:利用极坐标,原式=,说明:若用参数方程计算,则,P246题3(1),计算,其中L为摆线,上对应t从0到2的一段弧.,提示:,P246题3(3),计算,其中由平面y=z截球面,提示:因在上有,故,原式=,从z轴正向看沿逆时针方向.,P246题3(6),计算,其中L为上半圆周,提示:,沿逆时针方向.,(也可直接用Green公式.),P246题3(5),求力,沿有向闭曲线所作的,功,其中为平面x+y+z=1被三个坐标面所截成三,提示:,方法1,从z轴正向看去沿顺时针方向.,利用对称性,角形的整个边界,P247题11,设三角形区域为,方向向上,则,方法2,利用斯托克斯公式,(三)对面积的曲面积分的计算:1.化成二重积分:一投、二代、三变换(1)确定曲面的单值函数的表达式;(2)将曲面向作为自变量的两变量所确定的坐标平面投影,得投影区域;(3)将曲面方程代入被积函数和曲面面积元素dS中,得二重积分的被积表达式,曲面在坐标面上的投影区域为二重积分的积分区域;(4)计算二重积分.,例1,解,例2,2.特殊计算法:,解,由对称性，,解,依对称性知：,例3,例4,解,练习计算曲面积分,中是球面,解,用重心公式,利用轮换对称性简化第一类曲面积分,轮换不变性,若曲面有轮换对称性,则上的第一类曲面积分有轮换不变性.,例5,解,由积分的轮换不变性知,(四).对坐标的曲面积分的计算:,1.化为二重积分:一投、二代、三定号,(1)选准曲面的投影方向;,(2)将曲面的方程表示成相应变量的单值函数,代入被积函数中去;,(3)根据曲面的侧的方向确定二重积分的符号.,例6,解,利用两类曲面积分之间的关系,2.利用两类曲面积分之间的联系:,3.利用Gauss公式:,例7,解,由Gauss公式，,例8,解,由Gauss公式，,练习:,其中为半球面,的上侧.,且取下侧,提示:以半球底面,原式=,P246题4(2)同样可利用高斯公式计算.,记半球域为,高斯公式有,计算,为辅助面,利用,P246题4(3),例9,设为曲面,取上