《曲面方程的概念》PPT课件

一、曲面方程的概念,二、常见的二次曲面及其方程,三、空间曲线的方程,四、空间曲线在坐标面上的投影,第六节二次曲面与空间曲线,第八章向量代数空间解析几何,若曲面上的点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0,(或z=f(x,y)，,而不在曲面上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0,(或z=f(x,y)，,则称方程F(x,y,z)=0,(或z=f(x,y),为曲面的方程.,而曲面就称为方程F(x,y,z)=0(或z=f(x,y)的图形.,一、曲面方程的概念,1.球面方程,球心在M0(x0,y0,z0)，,半径为R的球面方程,半径为R的球面方程为,球心在原点时，,二、常见的二次曲面及其方程,半径为1的球面.,例1,表示怎样的曲面?,解,原方程两边同时除以2，,并将常数项移到等式右端，,得,配方得,所以，原方程表示球心在,定曲线C称为柱面的准线.,2.母线平行于坐标轴的柱面方程,动直线L沿给定曲线C平行移动形成的曲面，,称为柱面，,动直线L称为柱面的母线，,L,C,柱面的形成,由于方程f(x,y)=0不含z，,所以点M(x,y,z)也满足方程f(x,y)=0.,设M(x,y,z)为柱面上的任一点，,过M作平行于z轴的直线交xy坐标面于点,由柱面定义可知,必在准线C上.,所以的坐标满足曲线C的方程f(x,y)=0.,而不在柱面上的点作平行于z轴的直线,与xy坐标面的交点必不在曲线C上，,也就是说不在柱面上的点的坐标不满足方程f(x,y)=0.,所以，不含变量z的方程,x,y,z,O,M,L,C,现在来建立以xy坐标面上的曲线C:f(x,y)=0为准线，,平行于z轴的直线L为母线,的柱面方程.,f(x,y)=0,在空间表示以xy坐标面上的曲线为准线，,平行于z轴的直线为母线的柱面.,类似地，不含变量x的方程,f(y,z)=0,平行于x轴的直线为母线的柱面.,在空间表示以yz坐标面上的曲线为准线，,而不含变量y的方程,f(x,z)=0,在空间表示以xz坐标面上的曲线为准线，,平行于y轴的直线为母线的柱面.,例如方程在空间表示以xy坐标面上的圆为准线、,平行于z轴的直线为母线的柱面.,称为圆柱面,x,y,z,O,方程y=x2在空间表示以xy坐标面上的抛物线为准线、,平行于z轴的直线为母线的柱面.,称为抛物柱面.,x,y,z,O,平行于y轴的直线为母线的柱面,方程在空间表示以xz坐标面上的椭圆为准线，,称为椭圆柱面.,x,y,z,O,2,绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程.,现在来建立yz面上曲线C:f(y,z)=0,设M(x,y,z)为旋转曲面上任意一点，,过点M作平面垂直于z轴，,交z轴于点P(0,0,z)，,交曲线C于点M0(0,y0,z0).,由于点M可以由点M0绕z轴旋转得到，,因此有,3.以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程,平面曲线C绕同一平面上定直线L旋转所形成的曲面，,称为旋转曲面，,定直线L称为旋转轴.,x,y,z,O,M,M0,P,C,f(y0,z0)=0,所以,又因为M0在曲线C上，,将、代入f(y0,z0)=0，,即得旋转曲面方程:,同理，曲线C绕y轴旋转成的曲面方程为,所以,旋转曲面的形成,例2,将下列平面曲线绕指定坐标轴旋转，试求所得旋转曲面方程:,(1)yz坐标面上的直线z=ay(a0)，,绕z轴.,(2)yz坐标面上的抛物线z=ay2(a0)，,绕z轴.,(3)xy坐标面上的椭圆,分别绕x、y轴.,解,(1)yz坐标面上的直线z=ay(a0)绕z轴旋转，,故z保持不变，将y换成,则得,即所求旋转曲面方程为,表示的曲面称为圆锥面，,点O称为圆锥的顶点.,(2)yz坐标面上的抛物线z=ay2绕z轴旋转所得的曲面方程为,该曲面称为旋转抛物面.其特征是:,当a0时，旋转抛物面的开口向下.,一般地，,所表示的曲面称为椭圆抛物面。,方程,x,y,z,O,(3)xy坐标面上的椭圆绕x轴旋转，,故x保持不变，,而将y换成,得旋转曲面的方程为,该曲面称为旋转椭球面.,类似地，该椭圆绕y轴旋转而得的旋转椭球面的方程为,一般地，方程,所表示的曲面称为椭球面.,其特征是:,用坐标面或平行于坐标面的平面x=m，,y=n，,z=h(ama，,bnb，chc),截曲面所得到的交线均为椭圆.,当a，b，c中有a=b,或b=c,或a=c时，,即为旋转椭球面，,当a=b=c时，即为球面.,x,y,z,O,1.空间曲线的一般方程,称为空间曲线的一般方程,例3,下列方程组表示什么曲线?,三、空间曲线的方程,z=3是平行于xy坐标面的平面，,因而它们的交线是在平面z=3上的圆.,(1)因为x2+y2+z2=25是球心在原点，半径为5的球面，,解,x,y,z,O,因而它们的交线是在xy坐标面上的圆,z=0是xy坐标面，,(2)因为第一个方程所表示的球面与(1)相同，,若把(2)写成同解方程组,它表示母线平行于z轴的圆柱面与xy坐标面的交线.,这样更清楚地看出它是xy坐标面上的圆,x,y,O,t为参数.,2.空间曲线的参数方程,空间曲线上动点M的坐标x，y，z,也可以用另一个变量t的函数来表示，,即,形如上的方程组称为曲线的参数方程，,则从P0到P所转过的角=t，,质点在P0(R,0,0)处，,向平行于z轴的方向上升.,例4,设质点在圆柱面上以均匀的角速度,绕z轴旋转，,同时又以均匀的线速度v,运动开始，即t=0时，,求质点的运动方程.,解,设时间t时，,质点的位置为P(x,y,z)，,由P作xy坐标面的垂线,垂足为Q(x,y,0),上升的高度QP=vt，,即质点的运动方程为：,此方程称为螺旋线方程.,P0,Q,P,O,设为已知空间曲线，,则以为准线，,平行于z轴的直线为母线的柱面，,称为空间曲线关于xy坐标面的投影柱面.,而投影柱面与xy坐标面的交线C,称为曲线在xy坐标面的投影曲线.,类似地，,可以定义曲线关于yz坐标面、zx坐标面的投影柱面及投影曲线.,设空间曲线的方程为,消去z，得,G(x,y)=0.,四、空间曲线在坐标面上的投影,就可得到关于yz坐标面,或者zx坐标面的投影柱面方程，,可知满足曲线的方程一定满足方程G(x,y)=0，,而G(x,y)=0是母线平行于z轴的柱面方程，,因此，柱面G(x,y)=0,就是曲线关于xy坐标面的投影柱面.,而,就是曲面在xy坐标面上的投影曲线的方程.,同理，从曲线的方程中消去x或者y，,从而也可得到在相应的投影曲线的方程.,得x2+y23x5y=0，,在xy坐标面上的投影曲线的方程.,例5,求曲线,解,从曲线的方程中消去z，,即,它是曲线关于xy坐标面的投影柱面圆柱面的方程，,在xy坐标面上投影