闻邦椿非线性振动第5章.ppt

第五章多尺度法5.1多尺度法的基本思想,多尺度法首先是由Sturrock(1957)、Cole(1963)、Nayfeh(1965)等提出的,此后得到进一步的发展。上面介绍该法的基本思想与方法。我们考虑形式为,(5-1),的方程所控制的系统，设方程的解为,将原点移至中心位置是合适的。于是有,此时式(5-1)可写成,(5-2),(5-3),(5-4),假设f可以展为泰勒级数，则上式可写为,而f(n)表示关于自变量的n阶导数，对于中心，而,其中,(5-8),(5-5),(5-6),我们可以把方程的解看成是多个自变量的函数，而不是一个自变量的函数。也就是们可以把x看成是t和,的函数。多尺度法的基本思想是，将表示响应的展开式考虑成为多个自变量(或多个尺度)的函数。,引进自变量,(5-7),即,因此关于t的导数变成了关于的偏导数的展开式，即,然后代入方程进行求解，求出。这时，方程的解可写成：,然后按照小参数法(摄动法)建立的各阶方程，进而求出。,(5-9),(5-10),5.2含非线性弹性力的自治系统的多尺度法5.2.1自治保守系统,方程为,设,类似（5-5），可将方程(5-11)变换为,将及代入上式，得,(5-11),(5-12),(5-13),使有同次幂的系数为零，得,先求上式中第一个方程的解，得,式中之A为未知的复函数，而是A的共轭。A的控制方程从要求、是周期为的周期函数而得出。将代入方程(5-14)的第二式，得,(5-14),(5-15),式中CC表示前面各项的共轭。除非,(5-16),否则式(5-16)的任一特解中均包含有因子为的长期项。所以A必须与T1无关，在的情况下，式(5-16)的解为,将、代入第三个方程。得,为了消去长期项，必须使,(5-17),(5-18),(5-19),(5-20),将上式中的A表示成极坐标的形式：,式中之a和是实常数。将结果代入前式，得,上式中和表示和关于的导数。由此得出,=常数,式中为常数。,(5-21),(5-22),(5-23),于是得,将求得的、代入x式中，得,式中,(5-26),(5-25),(5-24),5.2.2自治非保守系统自治非保守系统的微分方程如下式所示：,设该方程的解为,同理可得,由以上方程的第一式可得,(5-27),(5-28),(5-29),而,与函数A有关，上式的特解都包含正比于的项(即长期项)。因此对于大的t值,可以大大超过，结果得到了一个非一致有效的展开式。我们这样来选择函数A，使得中消去长期项，从而得到一致有效的展开式。为此目的，我们将展成富氏级数,式中,(5-30),(5-32),(5-31),所以消去长期项的条件是,对于一次近似，我们把A考虑成仅仅是的函数，并且将解算到这一项为止。为了对上式进行求解，方便的做法是把表示为复数的形式，即,因此，我们将的表示式(5-30)改写成,将式(5-34)代入(5-33),我们得,将上式分成实部与虚部，得,(5-33),(5-34),(5-35),(5-36),所以方程的一次近似解为,式中的a和由前面的式子给出。,(5-37),(5-38),5.3含非线性弹性力的非自治系统的多尺度法这里我们考虑受方程(5-39),所控制的系统，式中是个小参数，f是x与的非线性函数，F为外干扰力，或称为外激励。外激励分为两种，一种是理想能源，这种能源被假定为无限大的，或者大到被激系统对它的影响可以忽略。这种情况下F=F(t),即F并不是系统状态x、的函数。另一种是非理想能源，即激励利用了有限的能源，因而是被激系统的状态的函数。,我们将处理理想系统，并将激励考虑成N项之和，它的每一项是简谐的：,(5-40),如果幅值频率和相角都是常数，则激励称为是平稳的，否则的话称为非平稳的。当幅值与频率是时间的慢变函数时，这种摄动方法适用于非平稳系统的分析。,我们可以改写为,式中,因此，如果,则激励可以考虑成为带有慢变幅值与频率的单频激励。,(5-41),(5-42),(5-43),下面研究带立方的非线性系统，其方程为,式中c0,而b可为正(硬弹簧)，可为负(软弹簧)。我们假设,即系统受单频外激励。下面分别研究它的非共振、主共振、超谐波共振、次谐波共振和组合共振情况。,(5-44),(5-45),图7.1机组轴系支撑系统简图（数字为轴瓦编号）,（a）1瓦轴振幅值谱,图7.9中速暖机阶段典型轴振动的幅值谱（约1100r/min,约19Hz）,(b)2瓦轴振幅值谱,(c)8瓦轴振幅值谱,（a）有裂纹时振动波形,（b）有裂纹高精度FFT谱,主振动与亚谐振动,图5.130平方米分段线性非线性共振筛,图5.2分段线性非线性共振筛力学模型,图5.420米长的剪切橡胶弹簧振动输送机,图5.328米长的分段线性非线性振动输送机,功率为11万千瓦、转速为3000转/分的燃气轮机,图5.6螺旋桨飞机翅膀和立舵可能出现的次谐波共振,5.3.1非共振情况已知,设,代入方程，得,因,式中,将x0代入式(5-47)第二式，得,(5-46),(5-47),(5-48),在非共振情况下，如果,则长期项可消去，设,代入方程(5-50)，分离实虚部，可得,(5-49),(5-50),(5-51),(5-52),5.3.2主共振情况此时，或。为解谐参数。设方程的解为,其中，而在主共振情况下，外激励可以看作小参数，并设它为简谐的,代入方程(5-44)，得,由第一式可解出：,(5-54),(5-55),(5-56),将表示为复数形式+CC,即得,由以下方程式可解出A:,设,分成实部与虚部,(5-57),(5-58),(5-59),(5-60),一次近似解为,如设，则,当时，则,(5-61),(5-62),(5-63),或,(5-64),5.3.3超谐波共振()设：，其中为解谐参数。在方程(5-49)的解中，除了式(5-50)中正比例于的一些项外，还有另外一项使中产生长期项，这就是。为了消去这些长期项，我们将下式：,用来表示,利用(5-49)式，我们发现，如果,则中的长期项就消失。设上式中的(这里和实数)，并分成实部与虚部，有,(5-65),(5-66),(5-67),设,方程(5-67)可变换为一个自治系统，从而得到,所以方程的一次近似解为,(5-68),(5-69),(5-70),两个方程平方后相加，得频率方程：(5-71)从上述方程解出，得(5-72)所以与线性情况不同，尽管存在着正阻尼，在时，自由振动并不衰减为零，而非线性性质调整了自由振动项的频率，使之精确地三倍于激励频率，从而响应成为周期的,这种共振称为超谐共振。,5.3.4次谐波共振()我们设,因而方程的解中除了正比于的一些项外，正比于的项也在中产生长期项。我们将表示为,所以为了在(5-49)中消去中产生长期项的一些项，我们写出,在上式中设(这里和实数)，并分成实部和虚部，我们得到,(5-73),(5-74),(5-75),(5-76),设,于是得到,所以一次近似解为,稳态振动对应的振动方程为,(5-77),(5-80),(5-78),(5-79),由上式可得频率方程,次谐波共振在工程实际中时常遇到。例如，飞机的某些零件的振动可以被远大于它们的固有频率的角速度运转的发动机所激发。1956年，拉法萨茨描述过一架商用飞机，由于螺旋浆的回转引发了机翼的阶的次谐波振动，而机翼又进而引发舵面的阶的次谐波振动，这种猛烈振动使得飞机遭受破坏。,(5-81),5.3.5两项激励的组合共振假如激振力由频率不等的两个部分所组成：,式中、和都是常数。此外我们还假设,并排除主共振的情况，我们假定方程的解为,代入方程，令方程两端的和的系数相等，就得到,方程(5-84)第一个方程的通解为,式中,(5-82),(5-83),(5-84),(5-85),将代入第二式，得出,(5-86),(5-87),上式中显示出一些组合共振，其中一些在以前单频激励情况中遇到过，而另一些则是多频激励的特征。这些组合是,超谐波共振次谐波共振组合共振组合共振,式中m=1和2，n=1和2，对于带三个或更多个频率的激励，可以存在共振组合。,由此可见，对于多频激励，可以同时存在多于一个的共振条件，这就是说，可以同时存在超谐波共振、次谐波共振、或者同时存在超谐波共振和组合共振等等。对于双频激励，可以同时存在两个共振。如果激振频率和,这里，能够存在的各次共振是：,或或或,下面考察的情况，如果,并将表示为,当满足