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阿波罗尼斯圆及其应用数学理论1. “阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。（时点的轨迹是线段的中垂线）2. 阿波罗尼斯圆的证明及相关性质定理：为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为证 （以为例）设，则.由相交弦定理及勾股定理知于是而同时在到两点距离之比等于的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆上任意一点到两点的距离之比恒为性质1.当时，点在圆内，点在圆外； 当时，点在圆内，点在圆外。性质2.因，过是圆的一条切线。 若已知圆及圆O外一点，可以作出与之对应的点反之亦然。性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为性质4.过点作圆的切线为切点），则分别为的内、外角平分线。性质5.过点作圆不与重合的弦则平分数学应用1. （03北京春季）设为两定点，动点到点的距离与到点的距离之比为定值求点的轨迹.2. （05江苏）圆和圆的半径都是1，过动点分别作圆和圆的切线分别为切点），使得，试建立适当坐标系，求动点的轨迹方程.3. （06四川）已知两定点如果动点满足，则点的轨迹所围成的图形的面积是_.4. (08江苏)满足条件的面积的最大值是_.5.在等腰中，是腰上的中线，且则面积的最大值是_.6. 已知是圆上任意一点，问在平面上是否存在一点，使得若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.变式：已知圆，问在轴上是否存在点和点，使得对于圆上任意一点，都有若存在，求出坐标；若不存在，说明理由.7. 在中，是的平分线，且（1） 求的取值范围；（2） 若的面积为1，求为何值时，最短.问题 在同一平面内，已知两定点，若动点满足,则点的轨迹方程是_.其轨迹为_.变式 如果将题目中“”改为“”呢？8、已知，是圆上任意一点，问是否存在这样的常数，使得？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由对以上问题的反思：对于圆上任意一点P，和定点，是否在轴上存在不同于点的点，使得为常数？变式一 求证： 对于圆上任意一点P和定点，在轴上存在唯一一点B，使得为常数，且，变式： 求证： 对于圆上任意一点P，在轴上存在不同的两点，使得为常数，且 变式： 求证： 对于圆上任意一点P和定点，在轴上存在唯一一点B，使得为常数，且， 注
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