2020最新命题题库大全2020年高考数学试题解析 分项专题08 立体几何 文(1)VIP

20202020 最新命题题库大全最新命题题库大全 20202020 年高考数学试题解析年高考数学试题解析 分项专题分项专题 0808 立立 体几何体几何 文文 20202020 年高考试题年高考试题 一、选择题 (2020(2020 高考新课标文高考新课标文 8)8)平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离 为，则此球的体积为 2 （A） （B）4 （C）4 （D）6 6363 【答案】B 【解析】球半径，所以球的体积为，选 B.3)2(1 2 r34)3( 3 4 3 (2020(2020 高考全国文高考全国文 8)8)已知正四棱柱中 ，为 1111 ABCDABC D2AB 1 2 2CC E 的中点，则直线与平面的距离为 1 CC 1 ACBED （A） （B） （C） （D）2321 1.【2020 高考新课标文 7】如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体1 的三视图，则此几何体的体积为（ ） ( )A6( )B9( )C()D 【答案】B 【解析】选由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为，所以几何体的B3 体积为,选 B.9336 2 1 3 1 V (2020(2020 高考陕西文高考陕西文 8)8)将正方形（如图 1 所示）截去两个三棱锥，得到图 2 所示的几何体， 则该几何体的左视图为 （ ） 8.【答案】B. 【解析】根据.空间几何体的三视图的概念易知左视图是实线是虚线，故选 B. 1 ADCB1 (2020(2020 高考湖南文高考湖南文 4)4)某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可 能是 【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知，原图 下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱， 都可能是该几何体的俯视图，不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如 图的矩形. (2020(2020 高考江西文高考江西文 7)7)若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 A B.5 C.4 D. 11 2 9 2 【答案】D 【解析】由三视图可知这是一个高为 1 的直六棱柱。底面为六边形的面积为 ，所以直六棱柱的体积为，选 D.421 2 31 ）（ 414 (2020(2020 高考广东文高考广东文 7)7)某几何体的三视图如图 1 所示，它的体积为 A. B. C. D. 72483024 【答案】C 【解析】该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积 . 23 11 4 34330 32 3 VVV 圆锥半球体 (2020(2020 高考重庆文高考重庆文 9)9)设四面体的六条棱的长分别为 1，1，1，1，和且长为的棱与2aa 长为的棱异面，则的取值范围是2a （A） （B） （C）（D）(0,2)(0, 3)(1,2)(1, 3) 【答案】A 【解析】因为则， 2 2 2 1 1) 2 2 (1 2 BEBEBF ，选 A，222BEBFAB (2102(2102 高考福建文高考福建文 4)4)一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以 是 A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 【答案】D. 【解析】球的三视图全是圆；如图正方体截出的三棱锥三视图全是等 腰直角三角形；正方体三视图都是正方形.可以排除 ABC，故选 (2020(2020 高考浙江文高考浙江文 3)3)已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是 A.1cm3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm3 【答案】C 【解析】由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角边分别为 1 和 2，整个棱锥的 高由侧视图可得为 3，所以三棱锥的体积为. 11 1 2 31 32 (2020(2020 高考四川文高考四川文 10)10)如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面ROOO 的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所AOCD45 得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、BP60BOP A 两点间的球面距离为（ ）P A、 B、 C、 D、 2 arccos 4 R 4 R3 arccos 3 R 3 R (2020(2020 高考浙江文高考浙江文 5)5) 设 是直线，a， 是两个不同的平面l A. 若 a， ，则 a B. 若 a， ，则 allll C. 若 a， a，则 D. 若 a, a，则 llll 【答案】B 【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的， a， ，则 a如选项ll A： a， 时，a 或 a；选项 C：若 a， a， 或；选项lllll D：若若 a, a， 或 lll (2102(2102 高考北京文高考北京文 7)7)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 （A）28+6 5（B）30+6 5（C）56+12 5（D）60+12 5 ，故选 B。5630 左右后底 SSSSS 二、填空题 (2020(2020 高考四川文高考四川文 14)14)如图，在正方体中，、分别是、 1111 ABCDABC DMNCD 的中点，则异面直线与所成的角的大小是_。 1 CC 1 AMDN N M B1 A1 C1 D1 B D C A (2020(2020 高考湖北文高考湖北文 15)15)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 _. 【答案】12 【解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为 2，高为 1）与 中间一个圆柱（底面圆半径为 1，高为 4）组合而成，故该几何体的体积是 . 22 21 21412V (2020(2020 高考辽宁文高考辽宁文 13)13)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 _. 【答案】12+ 【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的 长、宽、高分别为 4、3、1，圆柱的底面直径为 2，高位 1，所以该几何体的体积为 3 4 11 112 (2020(2020 高考江苏高考江苏) )（5 5 分）分）如图，在长方体中， 1111 ABCDABC D ，则四棱锥的体积为 cm33cmABAD 1 2cmAA 11 ABB D D (2020(2020 高考辽宁文高考辽宁文 16)16)已知点 P，A，B，C，D 是球 O 表面上的点，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是边长为 2正方形。若 PA=2,则OAB 的面积为_.36 (2020(2020 高考天津文科高考天津文科 10)10)一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体 积 . 3 m 【答案】30 【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。 长方体的体积为，五棱柱的体积是，所以几何体的总体积24243641 2 )21 ( 为。30 (2020(2020 高考安徽文高考安徽文 12)12)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_。 【答案】56 【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱，几何体的的体积是4 。 1 (25) 4 456 2 V (2020(2020 高考山东文高考山东文 13)13)如图，正方体的棱长为 1，E 为线段上的一点， 1111 ABCDABC D 1 BC 则三棱锥的体积为. 1 ADED 【答案】 6 1 【解析】因为点在线段上，ECB1 所以，又因为点在线段上，所以点到平面的距离为 2 1 11 2 1 1 DED SFCB1F 1 DED 1,即，所以.1h 6 1 1 2 1 3 1 3 1 111 hSVV DEDDEDFEDFD (2020(2020 高考安徽文高考安徽文 15)15)若四面体的三组对棱分别相等，即，ABCDABCD ，则_(写出所有正确结论编号)。 ACBDADBC 四面体每组对棱相互垂直ABCD 四面体每个面的面积相等ABCD 从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于ABCD90。180。 连接四面体每组对棱中点的线段互垂直平分ABCD 从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长ABCD (2020(2020 高考全国文高考全国文 16)16)已知正方体中，、分别为的中 1111 ABCDABC DEF 11 BBCC、 点，那么异面直线与所成角的余弦值为_.AE 1 D F 【答案】 5 3 【解析】如图连接，则,所以与FDDF 1 ,AEDF /DF 所成的角即为异面直线所成的角，设边长为 2，则，在三角形FD15 1 FDDF 中.FDD1 5 3 552 455 cos 1 FDD 三、解答题 (2020(2020 高考全国文高考全国文 19)19)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥中，底面为菱形，底PABCDABCDPA 面，是上的一点，ABCD2 2AC 2PA EPC 。2PEEC （）证明：平面；PC BED （）设二面角为，求与平面所成角的APBC90PDPBC 大小。 【答案】 E C BD A P (2020(2020 高考安徽文高考安徽文 19)19)（本小题满分 12 分） 如图，长方体中，底面是正方形，是的中点， 1111 DCBAABCD 1111 DCBAOBD 是棱上任意一点。E 1 AA （）证明： ；BD 1 EC （）如果=2，=，,，求 的长。ABAE2 1 ECOE 1 AA 【答案】 【解析】 (2020(2020 高考四川文高考四川文 19)19) (本小题满分 12 分) 如图，在三棱锥中，点PABC90APB 60PAB ABBCCA 在平面内的射影在上。 A B C P PABCOAB （）求直线与平面所成的角的大小；PCABC （）求二面角的大小。BAPC 命题立意：本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的 概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力. 【答案】 【解析】 (2020(2020 高考重庆文高考重庆文 20)20)（本小题满分 12 分， （）小问 4 分， （）小问 8 分）已知直三棱 柱中，为的中点。 （）求异面直线 111 ABCABC4AB 3ACBCDAB 和的距离；（）若，求二面角的平面角的余弦值。 1 CCAB 11 ABAC 11 ACDB (2020(2020 高考上海文高考上海文 19)19)本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题 满分 6 分 如图，在三棱锥中，底面，是的中点，已知，PABCPAABCDPCBAC 2 ，求：2AB 2 3AC 2PA （1）三棱锥的体积PABC （2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）BCAD 【答案】 (2020 高考天津文科 17)（本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，ADPD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.3 （I）求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值； （II）证明平面 PDC平面 ABCD； （III）求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值。 【答案】 (2020(2020 高考新课标文高考新课标文 19)19)（本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC= AA1，D 是棱 AA1的中 1 2 点 ()证明：平面 BDC1平面 BDC （）平面 BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 【答案】 (2020(2020 高考湖南文高考湖南文 19)19)（本小题满分 12 分） 如图 6，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是等腰梯形，ADBC，ACBD. （）证明：BDPC； （）若 AD=4，BC=2，直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30，求四棱锥 P-ABCD 的体积. B1 C B A D C1 A1 中国教*育出#版% 【答案】 (2020(2020 高考山东文高考山东文 19)19) (本小题满分 12 分) 如图，几何体是四棱锥，为正三角形，.EABCDABD,CBCD ECBD ()求证：；BEDE ()若，M为线段AE的中点，120BCD 求证：平面.DMBEC (2020(2020 高考湖北文高考湖北文 19)19)（本小题满分 12 分） 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等 腰梯形的四棱台 A1B1C1D1-ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩 形的四棱柱 ABCD-A2B2C2D2。 A证明：直线 B1D1平面 ACC2A2； B现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知 AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=13（单位： 厘米） ，每平方厘米的加工处理费为 0.20 元，需加工处理费多少元？ 【答案】 (2020(2020 高考广东文高考广东文 18)18)本小题满分 13 分） 如图 5 所示，在四棱锥中，平面，PABCDAB PAD/ABCDPDAD 是的中点，是上的点且，为中边上的高.EPBFCD 1 2 DFABPHPADAD （1）证明：平面；PH ABCD （2）若，求三棱1PH 2AD 1FC 锥的体积；EBCF （3）证明：平面.EF PAB （3）证明：取中点，连结，。PAMMDME 因为是的中点，EPB 所以。 1 / 2 MEAB 因为， 1 / 2 DFAB 所以，/MEDF 所以四边形是平行四边形，MEDF 所以。/EFMD 因为，PDAD 所以。MDPA 因为平面，AB PAD 所以。MDAB 因为，PAABA 所以平面，MD PAB 所以平面。EF PAB (2102(2102 高考北京文高考北京文 16)16)（本小题共 14 分）如图 1，在 RtABC 中，C=90，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1FCD，如图 2。 (I)求证：DE平面 A1CB； (II)求证：A1FBE； (III)线段 A1B 上是否存在点 Q，使 A1C平面 DEQ？说明理由。 【答案】 (2020(2020 高考浙江文高考浙江文 20)20)（本题满分 15 分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥 ABCD-A1B1C1D1 中，ADBC，ADAB，AB=。AD=2，BC=4,AA1=2，E 是 DD1的中点，F 是平面 B1C1E 与直2 线 AA1的交点。 （1）证明：（i）EFA1D1； （ii）BA1平面 B1C1EF； （2）求 BC1与平面 B1C1EF所成的角的正弦值。 (2) 设与交点为 H，连结. 1 BA 1 B F 1 C H 由（1）知，所以是与平面所成的角. 在矩形中， 11 BC EF 1 BC H 1 BC 11 BC EF 11 ABB A ，得，在直角中，得2AB 1 2AA 4 6 BH 1 BHCA 1 2 3BC 4 6 BH ，所以 BC 与平面所成角的正弦值是. 1 1 30 sin 15 BH BC H BC 11 BC EF 30 15 (2020(2020 高考陕西文高考陕西文 18)18)（本小题满分 12 分） 直三棱柱 ABC- A1B1C1中，AB=A A1 ， =CAB 2 （）证明; 11 BACB （）已知 AB=2，BC=，求三棱锥的体积5 11 CAAB 【答案】 (2020(2020 高考辽宁文高考辽宁文 18)18) (本小题满分 12 分) 如图，直三棱柱，AA=1，点M，N分别 / ABCA B C90BAC 2,ABAC 为和的中点。 / A B / B C ()证明：平面;MN / A ACC ()求三棱锥的体积。 / AMNC （椎体体积公式 V=Sh,其中 S 为地面面积，h 为高） 1 3 【答案答案】 (2020(2020 高考江苏高考江苏 16)16)（1414 分）分）如图，在直三棱柱中，分别 111 ABCABC 1111 ABACDE， 是棱上的点（点 不同于点） ，且为的中点 1 BCCC，DCADDEF， 11 BC 求证：（1）平面平面；ADE 11 BCC B （2）直线平面 1 /AFADE (2102(2102 高考福建文高考福建文 19)19)（本小题满分 12 分） 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M 为棱 DD1上的一点。 （1）求三棱锥 A-MCC1的体积； （2）当 A1M+MC 取得最小值时，求证：B1M平面 MAC。 (2020(2020 高考江西文高考江西文 19)19)（本小题满分 12 分） 如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，E，F 是线段 AB 上的两点，且 DEAB，CFAB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4.现将ADE，CFB 分别沿 DE，CF 折起，2 使 A，B 两点重合与点 G，得到多面体 CDEFG. （1）求证：平面 DEG平面 CFG； （2）求多面体 CDEFG 的体积。 【答案】 20202020 年高考试题年高考试题 一、选择题一、选择题: : 1.(2020(2020 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 8)8)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （A） 48 (B)32+8 (C) 48+8 (D) 80 2 2(2020(2020 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 9)9)如图如图 1-31-3，某几何体的正视图（主视图），某几何体的正视图（主视图） ，侧视图（左视图），侧视图（左视图） 和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ） A A B B C C D D 2 2 4 342 3 【答案答案】C】C 【解析解析】由题得该几何体是如图所示的四棱锥由题得该几何体是如图所示的四棱锥 P-ABCDP-ABCD， ，棱锥的高，323232 2 1 3 1 3312332312 2 2 VPOhAO 所以选择所以选择 C.C. 3 （20202020 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 4)4)设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A942 3618 9 12 2 9 18 2 答案：D 解析：有三视图可知该几何体是 一个长方体和球构成的组合体， 其体积 3 439 +3 3 2=18 322 V （）。 4 （20202020 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 7)7)设球的体积为 V1,它的内接正方体的 体积为 V2，下列说法中最合适的是 A. V1比 V2大约多一半B. V1比 V2大约多两 倍半 C. V1比 V2大约多一倍D. V1比 V2大约多一倍半 答案：D 解析：设球半径为 R，其内接正方体棱长为 a，则，即由 222 2aaaR 2 3 , 3 aR ，比较可得应选 D. 333 12 48 ,3 39 vR vaR 5.（20202020 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 11)11)下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题： 存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如 下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图其中真命题的个数是 3 3 2 正视图侧视图 俯视图 图 1 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】A 【解析】对于,可以是放倒的三棱柱；容易判断可以. 7.（20202020 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 4)4)若直线 不平行于平面，且，则lala (A) 内的所有直线与 异面 (B) 内不存在与 平行的直线alal (C) 内存在唯一的直线与 平行 (D) 内的直线与 都相交alal 【答案】 B 【解析】：直线 不平行于平面 ，所以 与相交，故选 Blalala 8 （20202020 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 5)5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （A） （B） 2 8 3 8 3 （C） （D）82 2 3 【答案】A 答案： C 解析：取 SC 的中点 D,则 D 为球心，则 AD=BD=DS=2。因为ASC=BSC=45，所以 SDB=SDA=900，即 ADSC,BDSC,ABD 是等边三角形，故棱锥 S-ABC 的体积等于棱锥 S-ABD 和棱锥 C-ABD 的体积和，即。 2 134 3 24 343 S D C B A 11.（20202020 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 8)8)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它2 3 的三视图中的俯视图如右图所示左视图是一个矩形则这个矩形的面积是 (A)4 (B) (c)2 (D) 2 33 12.（20202020 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 8)8)已知直二面角，点为垂足，l ,AACl C 为垂足，若则到平面的距离等于,BBDl D2,1,ABACBDDABC （A） （B） （C） （D） 2 3 3 3 6 3 1 【答案】C 【解析】如图，作于，由为直二面角，DEBCEl l A B CD E ，得平面，进而,又,AClAC ACDEBCDEBCACC 于是平面。故为到平面的距离。DE ABCDEDABC 在中，利用等面积法得Rt BCD 126 . 33 BDDC DE BC 13.（20202020 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 12)12)已知平面截一球面得圆 M，过圆心 M 且与成，二 0 60 面角的平面截该球面得圆 N，若该球的半径为 4，圆 M 的面积为 4，则圆 N 的面积为 (A) (B) (c) (D)791113 解：由圆的面积为得，M42MA 222 4212OM ，在2 3OM 0 30Rt ONMOMNA中, 故选 D 2 1 3,313 2 ONOM 2 r= 413 N S 圆 14.（20202020 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 9)9)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何 体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ） 16 （20202020 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 10)10)高为2的四棱锥SABCD的底面是边长为 1 的正 方形，点S、A、B、C、D均在半径为 1 的同一球面上，则底面ABCD的中心与 60 B A O N M 顶点S之间的距离为 A 10 2 B 23 2 C 3 2 D2 【答案】A 二、填空题：二、填空题： 16.16. （20202020 年高考海南卷文科年高考海南卷文科 16)16)已知两个圆锥有公共底面已知两个圆锥有公共底面, ,且两圆锥的顶点和底面的圆周且两圆锥的顶点和底面的圆周 都在同一个球面上都在同一个球面上. .若圆锥底面面积是这个球面面积的若圆锥底面面积是这个球面面积的, ,则这两个圆锥中则这两个圆锥中, ,体积较小者的体积较小者的 3 16 高与体积较大者的高的比值为高与体积较大者的高的比值为 . . 18. （20202020 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 15)15)如图，半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积 最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差是 . 答案：32 19.（20202020 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 15)15)已知正方体中，E 为的中点，则 1111 ABCDABC D 11 C D 异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦值为 【答案】 2 3 【解析】取的中点，为所求角，设棱长为 2，则， 11 ABFAEF3,5,2AEAFEF 222 2 cos. 23 AEEFAF AEF AEEF 20.20. (2020(2020 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 10)10)一个几何体的三视图如图所示一个几何体的三视图如图所示( (单位单位:m),:m),则该几何体的体则该几何体的体 积为积为 . . 3 m 【答案】4 【解析】由三视图知,该几何体是由上、下两个长方体组合而成的,容易求得体积为 4. 三、解答题：三、解答题： 21. （20202020 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 19)19)（本小题满分 12 分） 如图，在四棱台 中，平 1111 ABCDABC D 1 D D 面，底面是平行四ABCDABCD 边形，AB=2AD 11 AD=A B 60. BAD= （）证 明：； 1 AABD （）证明：. 11 CCA BD平面 理计算得 A1C1=，所以 A1C1OC 且 A1C1=OC，故四边 7 2 a 形 OCC1A1是平行四边形，所以 CC1A1O，又 CC1平面 A1BD，A1O平面 A1BD，所以. 11 CCA BD平面 22 （20202020 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 19)19)（本题满分 12 分） 如图 3，在圆锥PO中，已知2,POOA的直径 A 2,ABCABDAC 点在上, 且C AB=30为的中点 （I）证明：;ACPOD 平面 （II）求直线和平面PAC所成角的正弦值 在 2 ,sin 3 OH Rt OHCOCH OC A中 23.23. (2020(2020 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 17)17)（本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 如图如图, , 在四棱锥在四棱锥 P-ABCDP-ABCD 中中, ,底面底面 ABCDABCD 为平行四为平行四 边形边形, ,AD=AC=1,O,AD=AC=1,O 为为 ACAC 的中点的中点,PO,PO平面平面 ABCD,PO=2,ABCD,PO=2,为为 PDPD 的中点的中点. .45ADC M ()()证明证明 PBPB平面平面; ;ACM ()()证明证明 ADAD平面平面 PAC;PAC; ()()求直线求直线与平面与平面 ABCDABCD 所成角的正切值所成角的正切值. . AM 【命题意图命题意图】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等 基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 24. （20202020 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 18)18) (本小题满分 12 分） 如图，在交 AC 于 =2, 2 ABCBABBCPAB 中，为边上一动点，PD / / BC 点 D,现将 ,PDA.PDAPDPDAPBCD沿翻折至使平面平面 （1）当棱锥的体积最大时，求 PA 的长； APBCD （2）若点 P 为 AB 的中点，E 为 .ACBDE的中点，求证：A 【解析】 （1）设，则xPA )2( 3 1 3 1 2 x x xSPAV PDCBPBCDA 于于- 令,则 )0( , 63 2 ) 2 2( 3 1 )( 32 x xxx xxf 23 2 )( 2 x xf x ) 3 32 , 0( 3 32 ), 3 32 ( )(x f 0 )(xf 单调递增极大值单调递减 由上表易知：当时，有取最大值. 3 32 xPA PBCDA V - (2)证明：作得中点 F，连接 EF、FP,由已知得：,B A FPEDPDBCEF/ 2 1 / 为等腰直角三角形，,所以.PB A PFBADEBA 25. （20202020 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 20)20)（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点 E 在线段AD上， 且CEAB。 （1）求证：CE平面PAD； （11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45，求四棱锥P-ABCD的体积2 26. （20202020 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 19)19)（本小题共 12 分） 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=A A1=1，延长 A1C1至点P,使 C1P= A1C1，连结 AP 交棱 C C1于点 D. （）求证：P B1BDA1; ()求二面角 A- A1D-B 的平面角的余弦值. 27 （20202020 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 16)16)（本小题满分 12 分）如图，在ABC 中，ABC=45， BAC=90，AD，沿 AD 把是 BC 上的ABD 折起，BC是上的高 使BDC=90。 （）证明：平面 ；AD BBDC 平面 （ ）设 BD=1，求三棱锥 D的表面积。ABC 28. （20202020 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 18)18)如图，已知正三棱柱的底面边长为 2，侧棱 111 ABCABC 长为，点 E 在侧棱上，点 F 在侧棱上，且.3 2 1 AA 1 BB2 2,2AEBE ()求证： 1 CFC ()求二面角的大小. 1 EECFC 本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和 推理论证能力. 2929(2020(2020 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 18)18)（本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 如图所示，将高为如图所示，将高为 2 2，底面半径为，底面半径为 1 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向 右平移到的右平移到的分别为分别为的中点，的中点，分别为分别为 , ,A A B B AAAA ,CD C D DE D E 1122 0 ,0 ,0 ,0 的中点的中点 ,CD C D DE D E （1 1）证明：证明：四点共面；四点共面； 12 0 ,0 ,AB （2 2）设设为为中点，延长中点，延长到到, , G AA 1 0 A H 使得使得, ,证明证明: : 11 00HA 2 0 B 面HBG 【解析解析】 1 22 1111111 2222 111111111111 2121 11 12 11111111111111 222 11 ,. ,| ,| , (2) ,= B O O B BDED EO BB OO B B O AC DB BDED EB OO AO B O A OA O B H BBBH BO BH BO B BH BO B AOFAOO 2 证明：(1）连接O 分别是弧弧的中点，是平行四边形 是弧的中点分别是弧弧的中点 四点共面。 由题得平面 延长到使 1111 111 11111111110 11 111111111111 111 1111011110 111 110111111111 112122 ,. 90 9090 90| FH F O F O FH FO H OA GH FA HGA HO H F GA HO H FH O FA GHH FOA H G H O FH FOH O FA H G H OOO FH GO B O FO BH GO BH GB 连接和相交于点 平面 30. （20202020 年高考全国新课标卷文科年高考全国新课标卷文科 18)18)（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，60DAB ，ABCDPDADAB底面,2 （1）证明：;BDPA (2) 设求三棱锥 D-PBC 锥的高.，1 ADPD 分析：利用垂直的判定与性质证明并计算。解：(1)证明：在三 角形 ABD 中，因为ADABBAD2,60 该三角形为直角三角形，所以 E a 2a B DC A p ,DADPDBDPDPADPDADBD且平面, PABDPADPDPADBD平面平面, 31.（20202020 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 20)20)（本题满分 14 分）如图，在三棱锥中，PABC ，为的中点，平面，垂足落在线段上.ABACDBCPOABCOAD （）证明：；（）已知，APBC8BC ，.求二面角的大小.4PO 3AO 2OD BAPC 【解析】：（）,ABAC DBCADBC为中点, ,POABC 平面BCPA （）在平面内作得平面PAB,BMAPM于连结C M ,PBCA,P A ，所以，BMCP AC M ,BMCBAPC则为二面角的平面角 在中，得Rt ADBA 222 41ABADBD41AB 在中，Rt PODA 222 PDPOOD 在中，Rt PDBA 222 PBPDBD 所以得， 2222 36PBPOODBD6PB 在中，得Rt POAA 222 25PAAOOP5PA 又从而故 222 1 cos 23 PAPBAB BPA PA PB 2 2 sin 3 BPA sin4 2BMPBBPA 同理，因为所以即二面角的大4 2CM 222 BMCMBC90BMC BAPC 小为90 33. (2020(2020 年高考江苏卷年高考江苏卷 22)22)（本小题满分（本小题满分 1010 分）分） 如图，在正四棱柱如图，在正四棱柱中，中，点，点是是的中点，点的中点，点 1111 ABCDABC D 1 2,1AAABNBC 在在上，设二面角上，设二面角的大小为的大小为。M 1 CC 1 ADNM （1 1）当）当时，求时，求的长；的长； 0 90AM （2 2）当）当时，求时，求的长。的长。 6 cos 6 CM 解析：考察空间向量基本概念、线面所成角、距离、数量积、空间想象能力、运算 能力， （1）是中档题， （2）是较难题。 以 D 为原点，DA 为 x 轴正半轴，DC 为 y 轴正半轴，DD1为 z 轴正半轴， 建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0) )，设 M(0，1,z), 1 2 面 MDN 的法向量， 1111 ( ,)nx y z 1 1 (1,0,2),( ,1,0),(0,1, ) 2 DADNDMz 22第题图 设面 A1DN 的法向量为，则 000 (,)nxyz 00 1 00 20 0,0, 1 0 2 xz DA nDNn xy 取即 000 2,1,1,xyz 则(2, 1, 1)n 34.（20202020 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 18)18)（本小题满分 12 分） 如图，四边形 ABCD 为正方形，QA平面 ABCD，PDQA，QA=AB=PD。 1 2 （I）证明：PQ平面 DCQ； （II）求棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值。 解析：（I）由条件知，PDAQ 是直角梯形， 因为 AQ平面 ABCD,所以平面 PDAQ平面 ABCD,交线是 AD。 又四边形 ABCD 是正方形，DCAD,所以 DC平面 PDAQ，可得 PQDC。 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ=PD，则 PQQD. 2 2 所以 PQ平面 PCQ. 35.(2020(2020 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 19)19)（本小题满分 13 分） 如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，ABCDEFGABEDAGFDOAD ,，都是正三角1,2,OAODOABVOACODEODF 形。 （）证明直线；BCEF （II）求棱锥 F-OBED 的体积。 【命题意图】：本题考察空间直线与直线，直线与平面，平面与平 面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算，考察空间 想象能力，推理论证能力和运算求解能力。 又 和 ,可知 B 和 C 分别是线段 GE 和 GF 的中点，OBDE OCDF / /BCEF （2） 【解析】：由 OB=1，OE=2，,得，而EOB sin EOB S V 是边长为 2 的正三角形，故，所以OEDV OBEDOBEOED SSS VV 过点 F 作 FQDG，交 DG 于 Q 点，由于平面 ABED平面 ACFD，所以 FQ平面 ABED 所以 FQ 就是棱锥 F-OBED 的高，且,所以FQ F OBEDOBED VSFQ 【解题指导】：空间线线、线面、面面位置关系的证明方法，一是要从其上位或下位证 明，本题的第一问方法一，是从其上位先证明面面平行，再借助面面平行的性质得到线面 平行，再借助线面平行的性质得到线线平行；二是借助中位线定理等直接得到；三是借助 空间向量直接证明。 求不规则的几何体体积或表面积，通常采用分割或补齐成规则几何体即可。求解过程要 坚持“一找二证三求”的顺序和原则防止出错。 36.（20202020 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 20)20) (本小题满分 12 分)(注意：在试题 卷上作答无效) 如图，四棱锥中，,，侧面为等SABCD/ABCDBCCDSAB 边三角形，.2,1ABBCCDSD （）证明：;SDSAB 平面 （)求与平面所成角的大小.ABSBC D C BA S 37 （20202020 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 20)20)（本小题满分 12 分， （）小问 6 分， （）小问 6 分） 如题（20）图，在四面体ABCD中，平面 ABC平面ACD， ,2,1ABBC ACADBCCD （）求四面体 ABCD 的体积； （）求二面角 C-AB-D 的平面角的正切值。 解法一：（I）如答（20）图 1，过 D 作 DFAC 垂足为 F， 故由平面 ABC平面 ACD，知 DF平面 ABC，即 DF 是四面体 ABCD 的面 ABC 上的高，设 G 为边 CD 的中点， 则由 AC=AD，知 AGCD，从而 2222 115 2( ). 22 1115 . 224 AGACCG AG CD AC DFCD AGDF AC 由得 由 22 13 ,3,. 22 ABC Rt ABCABACBCSAB BC 中 故四面体 ABCD 的体积 15 . 38 ABC VSDF 解法二：（I）如答（20）图 2，设 O 是 AC 的中点，过 O 作 OHAC，交 AB 于 H， 过 O 作 OMAC，交 AD 于 M，由平面 ABC平面 ACD，知 OHOM。因此以 O 为原点，以 射线 OH，OC，OM 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，可建立空间坐标系 Oxyz.已知 AC=2，故点 A，C 的坐标分别为 A（0，1，0） ，C（0，1，0） 。 设点 B 的坐标为，有 11 (,0),| 1B x yABBCBC 由 即二面角 CABD 的平面角的正切值为 2 15 . 7 20202020 年高考试题年高考试题 20202020 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编立体几何立体几何 （20202020 陕西文数）陕西文数） 8.若某空间