新北师大版九下数学3.3垂径定理.ppt

3.3垂径定理,圆的对称性,圆是轴对称图形吗？,如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？,你是用什么方法解决上述问题的?,圆是轴对称图形.,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,可利用折叠的方法即可解决上述问题.,圆的相关概念：弧、弦、直径,圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.,直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如圆弧ABC).,连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).,经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).直径是圆中最大的弦。,直径是弦，但弦不一定是直径；,半圆是弧，但弧不一定是半圆；,半圆既不是劣弧，也不是优弧,注意：,问题1：垂直于弦的直径有什么特点？,如图AB是O的一条弦.作直径CD，使CDAB垂足M.,(2)你能发现图中有哪些等量关系?说说你的理由.,(1)下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,连接OA,OB,则OA=OB.,在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,CDAB,如图CD是直径,AM=BM,问题2平分弦的直径有什么特点？,AB是O的弦（不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于点M.,（2）你能发现图中有哪些等量关系?说说你的理由.,（1）下图是轴对称图形吗?若是,对称轴是什么?,平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,垂径定理的推论,（不是直径）,连接OA,OB,在OAM和OBM中,OA=OB,OM=OM,AM=BM,OAMOBM(SSS).,AMO=BMO=900.,点A和点B关于直径CD对称.,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,垂径定理的推论,如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?,提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:,A,B,C,D,1.两条弦在圆心的同侧,A,B,C,D,2.两条弦在圆心的两侧,垂径定理推论圆的两条平行弦所夹的弧相等.,M,N,作直径MN，且MNAB,又ABCD,MNCD,圆弧加减,解这个方程，得R=545.,例1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即弧CD,点0是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE垂直于CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。,解：连接OC，,设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。,OECD,CF=CD=x600=300(m).,由勾股定理得OC=CF+OF,即R=300+(R-90).,答：这段弯路的半径为545m,我来判：,1、判断：垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）（4）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）,2.如图为一圆弧形拱桥，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2m，求桥拱所在圆的半径。,A,连接OA,OB,B,OCAB,AD=AB=37.4=18.7,在RtODA中，OD=R-7.2，OA=R，AD=18.7,R2=(R-7.2)2+18.72,R27.9m,答：桥拱所在圆的半径是27.9m,2、如图在O中，AB为O的弦，C、D是直线AB上两点，且ACBD.求证：OCD为等腰三角形。,挑战自我,3、如图O中，AB为弦，C为弧AB的中点，OC交AB于D,AB=6cm,CD=1cm.求O的半径OA.,解：C为弧AB的中点，,OCAB,AD=AB=6=3cm,在RtAOD中，AD=3，OD=R-1，OA=R,由勾股定理得：,R2-(R-1)2=32,解之得：,R=5,答：O的半径为5cm,4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,解：过点O作OMAD,交BC于N.,M,N,HM=MG=HG=6=3,同理EN=NF=EF=10=5,又AH=4,在矩形ABNM中，BN=AM=AH+HM=7,BE=BN-EN=7-5=2,垂径定理,垂直于,平分这条弦，,并且平分弦所对的弧,弦,的直径,在O中，直径CD弦AB,AM=BM=AB,谈收获,垂径定理的逆定理,在O中，直径CD平分弦AB,CDAB,弦,（不是直径）,并且平分弦所对的弧,平分,的直径,垂直于弦，,垂径定理的逆定理,弦,（