说说数论领域的各种猜想.ppt

说说数论领域的那些猜想,数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数。按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论等理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。,关于数论,求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。,数学猜想的意义,希尔伯特的23个问题,希尔伯特（HilbertD.,1862.1.231943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。,1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的希尔伯特23个问题。,希尔伯特的23个问题之第10个问题,希尔伯特（HilbertD.,1862.1.231943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。,（10）能否通过有限步骤来判定不定方（丢番图）程是否存在有理整数解？,他是解析几何的发明者之一；,皮埃尔德费马，法国律师和业余数学家。他在数学上的成就不比职业数学家差，他似乎对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。被誉为“业余数学家之王”。,解析几何：笛卡儿是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费马则是从方程出发来研究轨迹的，这正是解析几何基本原则的两个相对的方面。,对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨，他还是概率论的主要创始人，以及独撑17世纪数论天地的人。,费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。,费马猜想历经三个世纪的猜想,1953年出生1980年剑桥大学克莱尔学院博士位1981年到美国普林斯顿高等研究院任研究员。19811984宅着写论文，扣住慢慢发1985年开始费马问题的研究,7年后，宣布证明成功。证明共200页，分六章。6个人分别审稿一章，发现有bug。但一年后才修复。,素数,中古时代，印度人引进了符号“1，2，3，4，5，6，7，8，9，0”,它共可以分成三类：1(大佬，无人敢与其争锋)；素数(素数也叫质数，只能被1和其自身整除的数)；合数（可以被1和自身以外的某个自然数整除的数）。,素数是数学中美妙的音乐，美丽的女神，有着很多让人捉摸不透的秘密。传说大数学家欧拉说过：“一直以来，数学家总是在孜孜不倦地寻找素数规律，但是很难成功。我们可以把素数看作人类思维无法渗透的奥秘。”,（1）先把1删除（因为1不是质数）（2）把2留下（最小的偶数质数），然后把2的倍数删去（3）把3留下，然后把3的倍数删去（4）把5留下，然后把5的倍数删去（5）同理继续进行下去，直到把所有数要么留下，要么删除这样如果纸上最大的数是N，则上述方法可以产生N以内素数的分布表。,公元前三世纪古希腊数学家、哲学家埃拉托色尼提出了一个叫“过筛”的方法，造出了世界上第一张素数表，就是按照素数大小排成的表。把自然数按其大小一个一个写上去；然后按下列法则把合数挖掉：,素数的分布随着N的变大，变得越稀疏。比如1到10之间有4个素数；100之内有25个素数，1000之内有168个素数，100万之内有78498个素数。,素数分布不是均匀的，越到后面越稀疏。,(40%)(25%)(16.8%)(7.8%),公元前三世纪，欧几里得用漂亮的反证法证明了素数的个数有无穷多个。,素数定理,这个被称做素数定理。,1859年，黎曼8页纸论文：“论不超过一个给定值的素数的个数”提出6个猜想，其中5个已解决。,黎曼猜想把素数的分布最终归结为所谓的黎曼函数的零点问题。,文章中提出的黎曼猜想给数学家们带来了比素数分布更大的挑战，推动了解析数论的极大发展。时至今日，在经历了150多年的认真研究和极力探索后，这个仍然悬而未决。,有人统计过，在当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提。2000年美国克雷数学所悬赏100万美金解决黎曼猜想。,孪生素数,孪生素数是指差为2的素数对。一般来说，如果p和p+2都是素数，则（p,p+2)就叫做孪生素数。,501到600间只有（521，523）和（569，571）两对。更大的孪生素数还有，如（5971847，5971849）。孪生素数的分布与素数相比，还要稀疏得多。,100以内有8个孪生素数：（3，5），（5，7），（11，13），(17，19），（29，31），（41，43），（59，61），（71,73）。,于是人们又开始猜想了：有无数对孪生素数。但没有人确切地知道究竟有多少对。,20036636132195000-1和20036636132195000+1,到2009年8月6日，已知最大的孪生素数为,这样问题就来了：比如孪生素数的分布规律是什么？共有多少对孪生素数？或者说有没有一个最大的孪生素数？,希尔伯特的23个问题之第8个,（8）素数分布问题：素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决。,其中，哥德巴赫猜想的最佳结果属于中国数学家陈景润（1+2），而华人数学家张益唐在2013年在孪生素数猜想领域做出了突破性的贡献。,1978年,1933年5月22日，出生于福建省闽侯县（今福州市仓山区城门镇胪雷村）。1948年2月考入福建师范大学附属中学前身福州英华高一上春季班。1950年夏高三上提前考入厦门大学数理系。1953-1954年在北京四中任教，因口齿不清，被“停职回乡养病”。,1954年调回厦门大学任资料员，同时研究数论，对组合数学与现代经济管理等问题也作了研究。1955年2月经当时厦门大学的校长王亚南先生推荐，回母校厦门大学数学系任助教。1956年，发表塔内问题，改进了华罗庚先生在堆垒素数论中的结果。1957年9月，由于华罗庚教授的重视，调入中国科学院数学研究所任研究实习员。1965年称自己已经证明（1+2），由师兄王元审查后于1966年6月在科学通报上发表。,哥德巴赫猜想,1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫致信瑞士数学家欧拉，提出两个猜想：(1)任何一个大于2的偶数都是两个素数之和(”11”)；(2)任何大于5的奇数都是3个素数之和。,同年6月30日，欧拉回信表示相信哥德巴赫猜想是对的，但他不能加以证明。容易证明(2)是(1)的推论，所以(1)是最基本的。,哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却实在不易，成为数学中一个著名的难题。在1921年的一个国际数学大会上，英国数学家哈代认为，猜想(1)的困难程度可以和任何没有解决的数学问题相比。,1966年5月，我国数学家陈景润在科学通报上发布了“12”证明的摘要，这篇论文的完整证明发表在1973年的第二期中国科学上，在国际数学界引起轰动，并将之命名为“陈氏定理”。,论文题目：“表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”。,比如100237X11,中科院数学家王元说：“这是迄今为止世界上关于哥德巴赫猜想（1）最好的成果，无人超越。”而且他的工作与数论上最伟大的工作联系在一起。,陶哲轩(TerenceChi-ShenTao),当世智商最高的十大天才之一(IQ值230),06年国际数学家大会菲尔兹奖,菲尔兹奖是以已故的加拿大数学家约翰查尔斯菲尔兹命名的，从1936年起开始颁发，随后成为最著名的世界性数学奖。由于诺贝尔奖没有数学奖，因此也有人将菲尔茨奖誉为数学界的“诺贝尔奖”。,菲尔兹奖是一个在国际数学联盟的国际数学家大会上颁发的奖项。它每四年颁奖一次，颁给二至四名有卓越贡献的年轻数学家。得奖者须在该年元旦前未满四十岁。,陶哲轩和合作者格林成果证明了“存在任意长度的素数等差数列”。,比如3、5、7，就是由3个素数构成的等差数列,长度为3；,2002年，陶哲轩和格林想证明，由4个素数构成的等差数列的数目是不是也无穷多？,1939年，荷兰数学家Johannesvandercorput证明：有无穷多个由3个素数构成的等差数列。,目前最先进的计算机上发现的最长的素数等差数列长度是23，第一项是素数56211383760397，公差是44546738095860，所以，第23个素数是首项加公差乘以22，这已经是一个复杂得不得了的问题了。,他们得到的结果几乎是一个不能想象的伟大成就，他们证明由素数构成的等差数列可以任意长，而且有任意多组。,也就是说，对于任意值K（比如1亿），存在K个素数等差级数列，K是100亿也可以，这简直吓人。而且，即使目前最好的计算机也无法找出超过23个数的素数等差数列，因此这个猜想只能用数学方法来证明。”,陶哲轩和格林在2004年的论文中引用了“陈氏定理”。(在陈景润证明12之后40年),中国第一神童-宁铂,1964年出生，江西赣州人，人称第一神童。1978年以最高成绩考进了中科大少年班1982年本科毕业留校任教，在19岁时成为中国最年轻的助教。2003年在南昌出家在江西一所佛寺担任该寺佛教学院的讲师。,2岁半时已经能够背诵30多首毛泽东诗词，3岁时能数100个数，4岁学会400多个汉字，5岁上学，6岁开始学习中医学概论和使用中草药，8岁能下围棋并熟读水浒传。,谢彦波,张亚勤,78届中科大少年班,张炘炀,2005年，10岁的张炘炀以510分的成绩考入天津工程师范学院，成为全国年龄最小的大学生。2008年夏天，13岁的张炘炀通过北工大硕士研究生的复试，成为全国年龄最小的硕士研究生，再次成为众人瞩目的焦点。2011年，16岁的他成了最小的博士生，被北航数学专业录取。,两岁半时，就在3个月内认识了一千多个汉字。他4岁读小学一年级，6岁升入五年级；9岁直接上高三。,父亲坚持先赶进度造楼，后面装修时再小范围修补要求父亲全款在北京买房他称在北京男盗女娼的东北垃圾也是“纯爷们”，称北京的乱象完全是外地人(尤其东北人)造成的。有钱不一定有素质,但没钱一定没素质。北京必须限制外地人。,张益唐，华人数学家。1978年考入北京大学数学系，19821985年，师从著名数学家、北京大学潘承彪教授攻读硕士学位；19851992年美国普渡大学，获博士学位；1999年至今，在美国新罕布什尔大学任教。,张益唐的博士题目是雅可比猜想(Jacobianconjecture)，导师是从台大走出去的代数专家莫宗坚；这一猜想1939年由德国数学家Ott-HeinrichKeller（1906-1990）于1939年提出来的，是关于多个变量的多项式里面的一个猜想。,这个猜想本身很有名：莫教授在普渡大学自己的网页上七八年前就挂了两篇纠错文章：Kuo-Parusinski-Paunescu&中国科大的苏育才,张益唐也牺牲在雅克比猜想上,七年的主要心血付诸东流了.,1992年张益唐博士毕业后六七年时间无固定工作,1999年在北大80级校友葛力明的帮助下，进入新罕布什尔大学任教。,1900年国际数学家大会上重提孪生素数猜想：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数。,早在1849年，法国数学家波利尼亚克（AlphonsedePolignac，18171890）提出了更一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p,p+2k)，这里k=1的情况就是孪生素数猜想。,张益唐于2013年4月17日向数学年刊（AnnalsofMathematics）投稿“素数间的有界距离”（Boundedgapsbetweenprimes）证明存在无数个素数对(p,q),其中每一对中的两个素数之差，即p和q的距离，不超过七千万。同年5月21日，该篇论文被数学年刊接受.(此时张55岁),但是在张益唐公布一周之后，全球的数学家开始争相寻找最小的数字。其中之一是加州大学洛杉矶分校的一名华裔教授陶哲轩(TerenceTao)。陶哲轩有一个合作项目，在这个项目中，数学家们努力去寻找最小的数字，而不是奋力争抢第一。这个课题叫做Polymath8，开始于2013年3月，持续了一年时间。随着课题的推进，工作逐渐依赖于一名年轻的英国数学家詹姆斯梅纳德（JamesMaynard），这名数学家在2014年2月将定值的最小值推算到246。“再往下就会有很多问题，”陶哲轩说，“需要越来越多的电脑程序，当然也有理论问题。用现有的方式，我们不能得出更好的结果了，因为有所谓的平等问题，没有人知道怎么解决这个问题。”,2013年5月13日，张益唐在美国哈佛大学发表演讲，介绍了他的这项研究进展。2013年12月2日，美国数学会宣布2014年弗兰克奈尔森科尔（FrankNelsonCole）数论奖将授予张益唐。32014年2月13日，张益唐又获得瑞典皇家科学院，瑞典皇家音乐学院，瑞典皇家艺术学院联合设立的的RolfSchock奖中的数学奖。2014年8月，在韩国首尔的国际数学家大会上，张益唐获邀请在闭幕式之前作一小时的受邀报告（invitedlecture）。（国际数学家大会的受邀报告通常为45分钟。）2014年9月16日，获得麦克阿瑟天才奖（MacArthurFellowship）。,望月新一，1969年3月29日出生于日本东京，数学家，现为日本京都大学教授，20多岁时在“远阿贝尔几何”领域中作出过超卓贡献。2012年8月(43岁)在数学系主页上贴了4篇论文，通过总共长达512页的艰深推理（当代数学论文多为1020页），他宣称自己解决了数学史上最富传奇色彩的未解猜想：ABC猜想。,ABC猜想最先由乔瑟夫奥斯达利（JosephOesterl）及大卫马瑟（DavidMasser）在1985年提出，一直未能被证明。其名字来自把猜想中涉及的三个数字称为A、B、C的做法。,abc猜想（abcconjecture）:对于任何0，存在常数C0，并对于任何三个满足a+b=c及a,b互质的正整数a,b,c，有：,其中，rad(n)表示n的质因数的积，如rad(72)=rad(22233)=23=6,ABC猜想之于现在的数论研究者，就好比牛顿惯性定律之于17世纪的普通人，更是违反数学上的常识。这一常识就是：“a和b的质因子与它们之和的质因子，应该没有任何联系。”如果ABC猜想被证明是正确的，那么加法、乘法和质数之间，一定存在人类已知数学理论从未触及过的神秘关联。,ABC猜想为何如此重要？因为ABC猜想，对于数论研究者来说，是反直觉的。,历史上反直觉的却又被验证为正确的理论，数不胜数。一旦反直觉的理论被证实是正确的，基本上都改变了科学发展的进程。举一个例子：牛顿力学的惯性定律，物体若不受外力就会保持目前的运动状态，这在17世纪无疑是