大学物理上册第二章例题

1 【例例】 质量为质量为 、长为、长为 的柔软细绳，一端的柔软细绳，一端 系着放在光滑桌面上质量为系着放在光滑桌面上质量为 的物体，如图所示的物体，如图所示 . 在绳的另一端加如图所示的力在绳的另一端加如图所示的力 . 绳被拉紧时会略绳被拉紧时会略 有伸长（形变），一般伸长甚微，可略去不计有伸长（形变），一般伸长甚微，可略去不计 . 现现 设绳的长度不变，质量分布是均匀的设绳的长度不变，质量分布是均匀的 . 求：求：（1）绳）绳 作用在物体上的力；（作用在物体上的力；（2）绳上任意点的张力）绳上任意点的张力 . ml m F m m l F 2 P T F T F 其间张力其间张力 和和 大小相等，方向相反大小相等，方向相反 T F T F （1） m m F aa T0 F T0 F T0T0 FF= mF= T0 a maFF= T0 mm F a + = F mm m F + = T0 设想在点设想在点 将绳分为两段将绳分为两段 P【解解】 3 l （2） xd md xd md T F TT dFF + lxmm/dd= TTT )d( FFF+ x lmm mF Fd )( d T + = + = l x F F x lmm mF Fd )( d T T xa l m amd)d(= mm F l x mmF + += )( T 4 t mmg d d sin v = 【解解】 = 0 dsind 0 gl v v vv )cos32( 2 0 T gg l mF+= v d d d d d d d dvvvv ltt = ) 1(cos2 2 0 +=lgvv t sinmamg= nT cosmamgF= lmmgF/cos 2 T v= 【例例】 如图长为如图长为 的轻绳，一端系质量为的轻绳，一端系质量为 的小球的小球, , 另一端系于定点另一端系于定点 ， 时小球位于最低位置，并具时小球位于最低位置，并具 有水平速度有水平速度 ，求小球在任意位置的速率及绳的张力，求小球在任意位置的速率及绳的张力. . 0 v m 0=t l o o 0 v v T F gm t e n e Fma= 5 【例例】 如图所示（圆锥摆），长为如图所示（圆锥摆），长为 的细绳一端固的细绳一端固 定在天花板上，另一端悬挂质量为定在天花板上，另一端悬挂质量为 的小球，小球经的小球，小球经 推动后，在水平面内绕通过圆心推动后，在水平面内绕通过圆心 的铅直轴作角速度的铅直轴作角速度 为为 的匀速率圆周运动的匀速率圆周运动 . . 问绳和铅直方向所成的角问绳和铅直方向所成的角 度度 为多少？空气阻力不计为多少？空气阻力不计. . m l o o l r v A n e t e amPF =+ T 2 2 nT sinmr r mmaF= v 0cos T = PF sinlr = T F P 【解解】 6 ll mm l g lm mg 22 cos = l g 2 arccos = 越大， 越大， 也越大也越大 利用此原理，可制成蒸汽机的调速器（如图所示）利用此原理，可制成蒸汽机的调速器（如图所示）. o l r v A n e t e T F P lmF 2 T = T cos;FP= 7 ox y 【例例】 设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比，设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比， 即即 ， 为比例系数为比例系数 . 抛体的质量为抛体的质量为 、 初速为初速为 、抛射角为、抛射角为 . 求抛体运动的轨迹方程求抛体运动的轨迹方程 . v kF= r k m 0 v P r F x x x k t mmav v = d d y y y kmg t mmav v = d d t m k x x d d = v v t m k kmg k y y d d = + v v 0 v A v 解解 取如图所示的取如图所示的 平面坐标系，还是利用平面坐标系，还是利用 OxyFma= 8 cos 00 vv= x sin 00 vv= y 0=t mkt x / 0 ecos =vv k mg k mg mkt y += / 0 e )sin(vv ox y A v P r F 0 v t m k x x d d = v v t m k kmg k y y d d = + v v 9 ox y A v P r F 0 v 0k 0=k )e1)(cos / 0 mkt k m x =(v t k mg k mg k m y mkt += )e1)(sin( / 0 v ) cos 1ln() cos (tan 0 2 2 0 x m k k gm x k mg y vv += tx xd dv=ty yd dv= mkt x / 0 ecos =vv k mg k mg mkt y += / 0 e )sin(vv 10 v B F r F 【解解】 取坐标如图取坐标如图 )( d d 0 b F m b t =v v marFmg=v6 B 令令 rbFmgF6 B0 = t mbF d d 0 v v = P y )(tv 【例例】 一质量一质量 ，半径，半径 的球体在水中静止释放的球体在水中静止释放 沉入水底沉入水底. .已知阻力已知阻力 , , 为粘滞系数，为粘滞系数， 求求 . . vrF6 r = mr B F 为浮力为浮力 11 bFt/, 0L v （极限速度）（极限速度） tmb b F )/( 0 e1 =v LL 95 . 0 )05 . 0 1 (vvv= bmt3=当当 时时 L ,3vv bmt 一般认为一般认为 = t t m b bF 00 0 d )( d v v v v B F r F P y v b F 0 t o )( d d 0 b F m b t =v v 12 若球体在水面上是具有竖直向若球体在水面上是具有竖直向 下的速率下的速率 ，且在水中的重力与，且在水中的重力与 浮力相等，浮力相等， 即即 . 则球体在则球体在 水中仅受阻力水中仅受阻力 的作用的作用 0 v PF = B vbF= r v v b t m= d d = t t m b 0 d d 0 v v v v tmb)/( 0e = vv v t o 0 v v B F r F P y 13 【例例】 一条均匀的金属链条，质量一条均匀的金属链条，质量 为为m，挂在一个光滑的钉子上，一边长度，挂在一个光滑的钉子上，一边长度 为为a，另一边长度为，另一边长度为 b ,且且 0ba 。求。求 链条从静止开始到滑离钉子所花时间。链条从静止开始到滑离钉子所花时间。 B C a b m m T = ( ) L L x a ( ) L L x g m L x g T = m L x a T m L x g a B C T a ( ) m L L x g A B 【解解】 + = a L b 设总长为：设总长为： = 2 x g L g L a 得：得： 14 ( ) a = = 2 x L g L d d v t = d d v x d d x t = d d v x v v d v v 0 = d x x a ( ) 2 x L g L = ( ) L g v 1 2 2 x 2 L x a 2 L a = ) L g v 1 2 2 x 2 L x a b ( L g 2 = v x 2 L x a b d d x t = t 0 = d x a+b a x 2 L x a b L g 2 = d t L g 2 t 15 d x a+b a x 2 L x a b = L g 2 t = L g 2 ln a b + a b + 2 a b + 2 a g b ln a b + a b = t 0 = d x a+b a x 2 L x a b L g 2 = d t L g 2 t 16 1 P T F （1 1）如图所示滑轮和绳子的质量均如图所示滑轮和绳子的质量均 不计，滑轮与绳间的摩擦力以及滑轮与不计，滑轮与绳间的摩擦力以及滑轮与 轴间的摩擦力均不计轴间的摩擦力均不计. .且且 . . 求求 重物释放后，物体的加速度和绳的张力重物释放后，物体的加速度和绳的张力. . 21 mm 1 m 2 m amFgm 1T1 = amFgm 2T2 =+ g mm mm a 21 21 + =g mm mm F 21 21 T 2 + = 【解解】 以地面为参考系以地面为参考系 画受力图、选取坐标如图画受力图、选取坐标如图 T F 2 P a y 0 a y 0 【例例】 阿特伍德机阿特伍德机 17 1 P T F （2 2）若将此装置置于电梯顶部，当若将此装置置于电梯顶部，当 电梯以加速度电梯以加速度 相对地面向上运动时，相对地面向上运动时， 求两物体相对电梯的加速度和绳的张力求两物体相对电梯的加速度和绳的张力. . a 1 m 2 m a r a r a 解解 以地面为参考系以地面为参考系 设两物体相对于地面的加速度分别设两物体相对于地面的加速度分别 为为 ，且相对电梯的加速度为，且相对电梯的加速度为 、 1 a r a 2 a T F 2 P 1 a y 0 2 a y 0 11T1 amFgm= 22T2 amFgm=+ aaa= r1 aaa+= r2 )( 21 21 r ag mm mm a+ + = )( 2 21 21 T ag mm mm F+ + = 18 M m 【例例】在光滑水平面上放一质量为在光滑水平面上放一质量为M、底角为底角为 、斜斜 边光滑的楔块边光滑的楔块。今在其斜边上放一质量为今在其斜边上放一质量为m的物体的物体， 求物体沿楔块下滑时求物体沿楔块下滑时对楔块对楔块和和对地面对地面的加速度的加速度。 x y 0 a 0 a a a 0 aaa +=+= ：物体对楔块：物体对楔块 a ：物体对地面：物体对地面 a ：楔块对地面：楔块对地面 0 a 19 【解解】以楔块以楔块（非惯性系）（非惯性系）为为参考系参考系 除真实力外除真实力外，物体和楔块还分别受惯性力物体和楔块还分别受惯性力 0 aM 0 am 和和 Mg x y mg 0 am a N N 0N 0 aM NN = = 作用和反作用作用和反作用 20 对物体：对物体： 对楔块：对楔块： cossin 0 ammaN=+=+x方向 方向：