工程力学教案张定华第8次

青 岛 黄 海 学 院 教 师 教 案 年 月 日课 题 2.2 平面力系平衡方程的应用 （二）课 时 2教学目的 学会列力系平衡方程教学重点 平衡方程的分类教学难点 平衡方程的求列教学关键点 掌握受力分析的方法，学会根据受力判定方程类型教 具 三角板、教鞭板书设计力系平衡方程的求列 一、外力、内力的概念(1)外力。系统外任何物体作用于该系统的力称为这个系统的外力。(2)内力。二、静定与静不定概念(1)静定系统。系统中所有未知量的总数小于或等于系统独立的平衡方程的总数时，称这系统为静定系统。(2)静不定系统。三、物体系统的平衡问题常见的物体系统的平衡问题有三类，即构架；多跨静定梁；三铰拱。这三类问题都有其相应的求解特点，在求解过程中能总结归纳。青 岛 黄 海 学 院 教 师 教 案教 学 内 容 及 教 学 过 程提示与补充新课导入：1、 平面力系平衡方程的种类2、 物系平衡问题分类，求解步骤新课讲授： 2.2平面力系平衡方程的应用（二）平面任意力系的平衡一、平面任意力系的平衡条件与平衡方程由第一章可知,平面任意力系简化的结果不外乎是合力、合力偶或平衡三种情况。如果力系平衡，则主矢与主矩必定为零。反之，如果，则力系一定处于不平衡的状态。于是可得到，平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。于是平面任意力系平衡充要条件可以这样具体表达：力系中所有力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，且各力对于作用面上任意一点之矩的代数和也等于零。平衡条件对于工程构件的设计计算具有重要意义。式(2-2)称为平面任意力系平衡方程的基本形式，它包含一个力矩方程，又称为一矩式。三个方程相互独立，可以求解三个未知量。应当指出，投影轴和矩心是可以任意选取的，在实际应用中，选取投影轴应尽可能使每一投影方程中只含一个未知量，而矩心则选在未知量最多的交点上。二、平面任意力系平衡方程的其他形式平面任意力系的平衡方程除了式（2-2）的一矩式形式外，还有另外两种形式，即二矩式和三矩式。1、二矩式。平衡方程由一个投影方程和两个力矩方程组成。应用式（2-3）时应满足条件：矩心A、B的连线不与投影轴垂直。2、三矩式。平衡方程由三个力矩方程组成。应用式（2-4）时应满足条件：矩心A、B、C三点不共线。式(2-3)和式(2-4)中，当满足各自的附加条件时，三个方程也是相互独立的，同样可以求解三个未知量。在某些情况下，应用二矩式或三矩式会比较方便。必须指出，对于单个刚体(或一个研究对象)的平衡问题，任何一种形式的平衡方程最多只有三个是独立的，只能求解三个未知量。如果列出了多于三个的平衡方程则其中必有不独立的方程，或称为无效方程。第二节三种特殊平面力系的平衡对于平面任意力系，有式（2-1）到（2-4）几种平衡方程的一般表达形式，但针对平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系三种特殊平面力系，有必要根据其平衡条件来讨论平衡方程的具体应用。一、平面汇交力系1、平面汇交力系平衡的解析法一个平面汇交力系，设定其力系汇交点为A点，则在式（2-2）中对于方程，O点的选取是任意的，如果就选在A点，可以判断该方程一定是一个无效方程，因为该力系对其汇交点而言转动效应恒为零。故平面汇交力系平衡的充要条件为：各力在两坐标轴上投影的代数和分别等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。例2-1物体重，用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端接在绞车D上，转动绞车，物体便能提升。设滑轮的大小及摩擦均略去不计，杆AB、BC的自重也不计，A、B、C三处为铰接。当物体处于平衡时，试求杆AB、BC所受的力。：(1) 杆AB、BC均为二力杆，假设它们对滑轮的约束力为拉力，如图2-1b所示，分别为和。(2) 选取滑轮B为研究对象画受力图。滑轮受到绳子两端的拉力，且。由于滑轮的大小可忽略不计，故这些力可判定为汇交力系，设定x、y轴，如图2-1c所示。(3)列平衡方程求解。由，有负号表示与所设方向相反，即CB杆受压力。正号表示与所设方向相同，即AB杆受拉力。2、平面汇交力系平衡的几何法针对平面汇交力系的各个力矢量，式（2-5）的另一种表达形式为，则有平面汇交力系平衡的几何条件为：该力系的力多边形自行封闭。如图1-23所示的平面汇交力系中，四个力的合力为，如该力系还有一个力，大小与相同，方向相反，则该力系的力多边形封闭，起点与终点重合，为一平衡力系。例2-2 试用几何法求解例2-1中杆AB和CB所受的力。解：(1) 取B点为研究对象。(2) 先假定杆AB和CB所受力的方向。（3）取一点a，预先设定比例尺，作力矢ab。接着作力矢bc。然后，过a点做直线平行于AB杆方向，过c点做直线平行于BC杆方向（因为和两力只知其方向，而不知其大小），两直线交点为d。由题意可知abcda必为一封闭的力多边形。（4）按比例尺量得，。其中的指向与原假设方向相同，为拉力。的指向与原假设方向相反，为压力。结合例题，可以归纳出应用平面汇交力系平衡的几何条件求解的步骤如下：1、根据题意，选取力系汇交点为研究对象。2、分析该点的受力，画出受力图，判明已知力和未知力。3、任取一点，应用平衡几何条件，按比例依次首尾相接画出全部已知力和未知力（如两力的大小未知，方向已知，则作两条方向线找出其交点；如一力的大小、方向均未知，则将该力放在最后,按力多边形的封闭原则进行求解）。4、在封闭力多边形中，找出未知力，判断其正确指向，按比例求出其大小。二、平面力偶系的平衡由力偶的性质可知，力偶对刚体的作用效果只能是使刚体发生转动，而不能使刚体平移。故由多个力偶组成的平面力偶系作用在某刚体上并处于平衡时，也不会产生移动效应。在式（2-2）中，与两个方程恒等于零，是两无效方程。平面力偶系平衡的充要条件是：所有力偶矩的代数和等于零。三、平面平行力系的平衡平面平行力系中，取x轴与各力垂直，y轴与力系中各力平行。则各力在x轴的投影均为零。若该平面平行力系为平衡力系，由式（2-2）可知，恒成立，为一无效方程，而独立的平衡方程只有两个，最多只能求解两个未知量。故平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力在与力平行的坐标轴上投影的代数和为零，各力对任意点的力矩代数和也为零。此为平面平行力系的平衡方程，其中y轴不与各力垂直。也可表示为二矩式其中A、B两点的连线不能与各力平行。AB杆上所受的外力也是平面平行力系的例子。在杆件AB上当分布力可以看做沿一轴线作用时，这种分布力称为沿轴线分布的线分布载荷。它以单位长度上力的大小作为载荷集度，以表示，单位是Nm或kNm。线分布载荷分为均布载荷和非均布载荷，非均布载荷最常见的为线性分布载荷，或称三角形线分布载荷。本书中主要介绍有均布载荷作用的情况。均布载荷的简化结果为一合力，常用表示，合力的大小等于均布载荷集度与其分布长度的乘积，即。合力的作用点在其分布长度的中点上，方向与方向一致。例2-4 一塔式起重机。机架重，其重心距右轨B点距离为。起重机的最大起重量为，距右轨B点距离为。起重机的平衡配重为，其重心距左轨A点距离为，轨距。试求起重机在满载和空载时都不致翻倒的取值范围。平面任意力系平衡方程的应用在讨论了平面任意力系平衡方程的基本形式及三种特殊平面力系的平衡方程后，结合具体问题分单个物体(或单个研究对象)及物体系统两种情形说明平衡方程的应用。平衡方程描述了物体平衡时，各个受力之间应满足的关系。因此对于工程实际问题，可以应用平衡方程来求解工程结构和构件处于平衡时的未知力或解决如物体平衡位置等相关问题。平面任意力系平衡方程的解题步骤如下：1、确定研究对象画出受力图，在受力图上要确定未知力(约束反力)的数目、作用点位置及作用方向。注意选好投影轴，投影轴最好能通过一个或两个未知力。一般水平和铅垂方向的投影轴可以不画，倾斜方向的投影轴则必须画出。2、列平衡方程求解可按选好的投影轴列出投影方程，并按选好的矩心列出力矩方程求解。为避免解联立方程，尽量做到用一个方程解一个未知力，除选好投影轴之外，还应注意尽量选择两个未知力的交点为矩心。3、对结果进行讨论在计算结果中如果力出现负号，说明受