2.5与圆有关的比例线段ppt课件

2.5与圆有关的比例线段,1,探究1:AB是直径,CDAB交点P.线段PA,PB,PC,PD之间有何关系?,PAPB=PCPD,1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。,2,A(C.P),B,D,P在圆外:易证PADPCB,故PAPB=PCPD,3,2.割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.,PAPB=PCPD,探究3:使割线PB绕P点运动到切线的位置,是否还能成立?,4,连接AC,AD易证PACPDA,上式可变形为,PA=PCPD,3.切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.,故PAPB=PCPD仍成立,因为A,B重合，,5,探究4:使割线PD绕P点运动到切线的位置,可以得出什么结论?,易证RtOAPRtOCP.,PA=PC,4.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.,PA=PCPD,6,思考:1.由切割线定理能证明切线长定理吗?如图由P向圆任作一条割线EF试试.,A(B),P,O,C(D),E,F,思考:2.你能将切线长定理推广到空间的情形吗?,O,7,例1.圆内的两条弦AB,CD交于圆内一点P,已知PA=PB=4.PC=PD,求CD的长.,C,D,A,B,P,解:设CD=x,则PD=,PC=,由相交弦定理,得PAPB=PCPD,44=求得x=10,CD=10,8,例2.E是圆内的两条弦AB,CD的交点,直线EF/CB,交AD的延长线于F,FG切圆于G.求证:(1)DFEEFA;(2)EF=FG,A,B,C,O,E,D,3,2,1,DFEEFA,EF=FAFD,又GF=FAFD,GF=EF,EF=FG,9,例3.如图,两圆相交于A,B两点,P是两圆公共弦AB上的任一点,从P引两圆的切线PC,PD.求证:PC=PD,P,A,B,D,C,析：PC=PAPB,又PD=PAPB,PC=PD,PC=PD,10,例4.如图,AB是O的直径,过A,B引两条弦AD和BE,相交于点C,求证:ACAD+BCBE=AB.,F,分析:A,F,C.E四点共圆,BCBE=BFBA.,F,B,D,C四点共圆,ACAD=AFAB.,ACAD+BCBE=AFAB+BFBA=AB(AF+BF)=AB,11,例5.如图,AB,AC是O的切线,ADE是O的割线,连接CD,BD,BE,CE.,问题1由上述条件能推出哪些结论?,探究1:ACD=AEC,ADCACE,CDAE=ACCE,同理BDAE=ABBE,因为AC=AB,由,可得BECD=BDCE,图,12,探究2:猜想并可证明,问题2在图(1)中,使线段AC绕A旋转,得到图(2),其中EC交圆于G,DC交圆于F,此时又能推出哪些结论?,ADCACE同样可得,13,证明如下:,AB=ADAE,而AB=AC,AC=ADAE,即,CAD=EAC,(对应边成比例且夹角相等).,ADCACE,另一方面连接FG由于F,G,E,D四点共圆,CFG=AEC,又ACF=AEC,CFG=ACF,FG/AC,14,问题3在图(2)中,使线段AC继续绕A旋转,使割线CFD变成切线CD,得到图(3),此时又能推出哪些结论?,探究3:可以推出（1）（6）的所有结论。,15,B,A,E,C,O,D,G,图,P,此外,AC/DG.,ADCE=AECG,ACDAEC,ACCD=ADCE,由可得：,ACCD=AECG,连接BD,BE,延长GC到P,延长BD交AC于Q,则,PCQ=PGD=DBE,故C,E,B,Q四点共圆,16,习题2.5,5.如图,O与O相交与点A,B.PQ是O的切线,求证:PN=NMNQ,17,6.如图,PA是O的切线,M是PA的中点,求证:MPB=MCP,MA=MBMC=PM,MBPPMC,MPB=MCP,思路：,习题2.5,18,习题2.5,7.如图,AD,BE,CF分别是ABC三边的高,H是垂心,AD延长线交ABC外接圆于点G,求证:DH=DG,1,3,2,19,习题2.5,8.如图,O直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P,AE=AC.求证:PFPO=PAPB,1,POCPDF,PFPO=PDPC,又PDPC=PBPA,PFPO=PBPA,思路：,20,习题2.5,9.将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,能推出哪些结论?如果BAD=CAD,又有什么结论?,B,A,E,C,O,D,图,21,习题2.59题,将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,你能推出哪些结论?如果BAD=CAD,又有什么结论?,AB=ADAE,CFCE=CDCG,AC=ADAE,AC=AB,CAD=