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2020/5/17,1,4.3正交矩阵及其性质,2020/5/17,2,定义6设A为n阶方阵,如果ATA=I或AAT=I,就称A为正交矩阵.(A-1=AT)定理4A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基.证设,按列分块为a1,a2,.,an,2020/5/17,3,于是,因此ATA=I的充分必要条件是,此定理可作为判定正交矩阵的一种方法,2020/5/17,4,定理5设A,B皆是n阶正交矩阵,则:(i)detA=1或-1;(ii)A-1=AT（充要条件）;(iii)AT(即A-1)也是正交矩阵;(iv)AB也是正交矩阵.证(i)det(ATA)=det(I)=1=(det(A)2,所以成立,(ii)ATA=I,当然就是A-1=AT,(iii)(AT)TAT=AAT=AA-1=I,所以AT(即A-1)也是正交矩阵,从而A的行向量组也是Rn的一组标准正交基,(iv)由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I,即得AB也是正交矩阵.,2020/5/17,5,定理,方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量构成标准正交组。,推论1,方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行向量构成标准正交组。,A是正交矩阵,方阵A的列向量构成标准正交组,方阵A的行向量构成标准正交组,是正交矩阵,2020/5/17,6,例,现有标准正交组,求三维向量,使得矩阵,为正交矩阵,解,是标准正交组,2020/5/17,7,或,定义若A为正交矩阵，则线性变换称为正交变换。,定理正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量的模、夹角和距离。,2020/5/17,8,也就是说，若列向量X,YRn在n阶正交矩阵A作用下变换为AX,AYRn,则向量的内积与长度及向量间的夹角都保持不变,即(AX,AY)=(X,Y),|AX|=|X|,AX,AY=X,Y.证(AX,AY)=(AX)T(AY)=XT(ATA)Y=XTY=(X,Y).当Y=X时,有(AX,
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