圆与抛物线共存的综合题

圆与抛物线共存的综合题128（2010青海，28, 11分） 如图10，已知点A（3，0），以A为圆心作A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作A的切线l.（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作A的切线DE，E为切点，求此切线长；（3）点F是切线DE上的一个动点，当BFD与EAD相似时，求出BF的长 图10【分析】（1）设顶点式，把A、C代入求出（2）见切点时，常做过切点的半径构造直角三角形（3）由相似得到对应线段成比例，从而求出BF的长【答案】解：（1）设抛物线的解析式为抛物线经过点A（3，0）和C（0，9）解得：（2）连接AEDE是A的切线，AED=90，AE=3直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点AB=BD=3AD=6在RtADE中，（3）当BFED时AED=BFD=90ADE=BDFAEDBFD即当FBAD时AED=FBD=90ADE=FDBAEDFBD即BF的长为或.【涉及知识点】抛物线、相似三角形、勾股定理、切线长定理2 （12分）一条抛物线经过点与（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；（2）现有一半径为1、圆心在抛物线上运动的动圆，当与坐标轴相切时，求圆心的坐标；O图15（3）能与两坐标轴都相切吗？如果不能，试通过上下平移抛物线使与两坐标轴都相切（要说明平移方法）2 本小题满分12分（1） 抛物线过两点， 1分解得 2分 抛物线的解析式是，顶点坐标为 3分（2）设点的坐标为，当与轴相切时，有， 5分由，得；由，得此时，点的坐标为 6分当与轴相切时，有， 7分由，得，解得；由，得，解得此时，点的坐标为， 9分综上所述，圆心的坐标为：，注：不写最后一步不扣分（3） 由（2）知，不能 10分设抛物线上下平移后的解析式为,若能与两坐标轴都相切，则,即x0=y0=1；或x0=y0=-1；或x0=1，y0=-1；或x0=-1，y0=1 11分取x0=y0=1，代入，得h=1 只需将向上平移1个单位，就可使与两坐标轴都相切 123.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.（1）求此抛物线的解析式；(第23题)（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.3（1）解：设抛物线为.抛物线经过点（0，3），.抛物线为.3分 (2) 答：与相交. 4分证明：当时，. 为（2，0），为（6，0）.设与相切于点，连接，则.，.又，.6分抛物线的对称轴为，点到的距离为2.抛物线的对称轴与相交. 7分(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.可求出的解析式为.8分设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）. . , 当时，的面积最大为. 此时，点的坐标为（3，）. 10分4.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作D与x轴相切，D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（第24题图）xyOACBDEF（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得PGA的面积被直线AC分为12两部分.4. （本小题满分12分）解：（1）抛物线经过点， 解得.抛物线的解析式为：. 3分（2）易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8，点D的坐标为（4,8）D与x轴相切，D的半径为8 4分连结DE、DF，作DMy轴，垂足为点M在RtMFD中，FD=8，MD=4cosMDF=MDF=60，EDF=120 6分劣弧EF的长为： 7分（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. 直线AC经过点.，解得.直线AC的解析式为：. 8分设点，PG交直线AC于N，则点N坐标为.xyOACBDEFPGNM若PNGN=12，则PGGN=32，PG=GN.即=.解得：m1=3， m2=2（舍去）.当m=3时，=.此时点P的坐标为. 10分若PNGN=21，则PGGN=31， PG=3GN.即=.解得：，（舍去）.当时，=.此时点P的坐标为.综上所述，当点P坐标为或时，PGA的面积被直线AC分成12两部分 12分5(12分)如图，已知点A(3，0)和B(1，0)，直线ykx4经过点A并且与y轴交于点CACBPOxy536(1)求点C的坐标；(2)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；(3)半径为1个单位长度的动圆P的圆心P始终在抛物线的对称轴上当点P的纵坐标为5时，将P以每秒1个单位长度的速度在抛物线的对称轴上移动那么，经过几秒，P与直线AC开始有公共点？经过几秒后，P与直线AC不再有公共点？6（本题满分14分）如图，已知抛物线y = ax2 + bx3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，M的半径为设M与y轴交于D，抛物线的顶点为E（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设DBC = a，CBE = b，求sin（ab）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由6（1）由题意可知C（0，3）， 抛物线的解析式为y = ax22ax3（a0），过M作MNy轴于N，连结CM，则MN = 1， CN = 2，于是m =1同理可求得B（3，0）， a3222a33 = 0，得 a = 1， 抛物线的解析式为y = x22x3 （2）由（1）得 A（1，0），E（1，4），D（0，1） 在RtBCE中， ， ，即 ， RtBODRtBCE，得 CBE =OBD =b，因此 sin（ab）= sin（DBCOBD）= sinOBC =（3）显然 RtCOARtBCE，此时点P1（0，0）过A作AP2AC交y正半轴于P2，由RtCAP2 RtBCE，得过C作CP3AC交x正半轴于P3，由RtP3CARtBCE，得P3（9，0）故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，13），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似图7ODxCA.yB7（本题满分12分，每小题满分各4分）如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，-3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B、C两点，交y轴于点D、E两点（1）求点B、C、D的坐标；（2）如果一个二次函数图像经过B、C、D三点，求这个二次函数解析式；（3）P为x轴正半轴上的一点，过点P作与圆A相离并且与x轴垂直的直线，交上述二次函数图像于点F，当CPF中一个内角的正切之为时，求点P的坐标 7解：（1）点A的坐标为，线段，点D的坐标(1分) 连结AC，在RtAOC中，AOC=90，OA=3，AC=5，OC=4 (1分) 点C的坐标为；(1分) 同理可得 点B坐标为 (1分)（2）设所求二次函数的解析式为，由于该二次函数的图像经过B、C、D三点，则 （3分） 解得 所求的二次函数的解析式为；(1分)（3）设点P坐标为，由题意得，(1分)且点F的坐标为，CPF=90，当CPF中一个内角的正切值为时，若时，即，解得 ， (舍)；(1分)当时， 解得 (舍)，(舍)， (1分)所以所求点P的坐标为(12，0) (1分)8抛物线的顶点为M，与轴的交点为A、B（点B在点A的右侧），ABM的三个内角M、A、B所对的边分别为m、a、b。若关于的一元二次方程有两个相等的实数根。（1）判断ABM的形状，并说明理由。（2）当顶点M的坐标为（2，1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。（3）若平行于轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与轴相切，求该圆的圆心坐标。8解：（1）令 得 由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知ABM是一个以、为直角边的等腰直角三角形 （2）设ABM是等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半又顶点M(2，1)，即AB2A(3，0)，B(1，0)将B(1，0) 代入中得抛物线的解析式为，即图略（3）设平行于轴的直线为解方程组得， （线段CD的长为以CD为直径的圆与轴相切据题意得解得 圆心坐标为和 10（12分）在直角坐标系中，A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作A的切线BC，交x轴于点B（1）求直线CB的解析式；（2）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；（3）试判断点C是否在抛物线上？ （4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与AOC相似？直接写出两组这样的点10 本小题满分12分解:（1）方法一：连结，则 ， OC= 1分又 RtAOCRtCOB， OB=6 2分 点坐标为，点坐标为设直线的解析式为y=kx+b， 3分可求得直线的解析式为 4分方法二：连结，则 ， ACO=30 o，CAO=60 o 1分 CBA=30 o AB=2AC=8 OB=AB-AO=6 2分以下同证法一（2）由题意得，与轴的交点分别为、，抛物线的对称轴过点为直线 5分 抛物线的顶点在直线上， 抛物线顶点坐标为 6分设抛物线解析式为， 7分C1 抛物线过点， ，解得 抛物线的解析式为，即 8分（3）点在抛物线上因为抛物线与轴的交点坐标为，如图 10分(4) 存在，这三点分别是E、C、F与E、C1、F，C1的坐标为（4，）即ECFAOC、EC1FAOC，如图 12分说明：每找对一个三角形，给1分 11（本题满分10分）两个直角边为6的全等的等腰直角三角形和按图1所示的位置放置与重合，与重合（1）求图1中，三点的坐标（2）固定不动，沿轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当点运动到与点重合时停止，设运动秒后和重叠部分面积为，求与之间的函数关系式（3）当以（2）中的速度和方向运动，运动时间秒时运动到如图2所示的位置，求经过三点的抛物线的解析式图1图2（4）现有一半径为2，圆心在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问在运动过程中是否存在与轴或轴相切的情况，若存在请求出的坐标，若不存在请说明理由 图11 图 如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B已知抛物线过点A和B，与y轴交于点C（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（2）点Q（8，m）在抛物线上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQPB的最小值（3）CE是过点C的M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式CAMBxyODE11.解：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），抛物线过点A和B，则解得则抛物线的解析式为 故C（0，2）（2分）（说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）（3分）（2）如图，抛物线对称轴l是x4Q（8，m）抛物线上，m2过点Q作QKx轴于点K，则K（8，0），QK2，AK6，AQ（5分）又B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称，PQPB的最小值AQCAMBxyODEQPK图lCAMBxyODE图（3）如图，连结EM和CM由已知，得EMOC2CE是M的切线，DEM90，则DEMDOC又ODCEDM故DEMDOCODDE，CDMD又在ODE和MDC中，ODEMDC，DOEDEODCMDMC则OECM（7分）设CM所在直线的解析式为ykxb，CM过点C（0，2），M（4，0），解得直线CM的解析式为又直线OE过原点O，且OECM，则OE的解析式为yx（8分）28（本题满分10分）两个直角边为6的全等的等腰直角三角形和按图1所示的位置放置与重合，与重合（1）求图1中，三点的坐标（2）固定不动，沿轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当点运动到与点重合时停止，设运动秒后和重叠部分面积为，求与之间的函数关系式（3）当以（2）中的速度和方向运动，运动时间秒时运动到如图2所示的位置，求经过三点的抛物线的解析式图1图2（4）现有一半径为2，圆心在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问在运动过程中是否存在与轴或轴相切的情况，若存在请求出的坐标，若不存在请说明理由yxBEHODJGCAI图28解：（1），2分（2）当时，位置如图所示，作，垂足为，可知：，DHBExOGCyA图3分当时，位置如图所示可知：4分（求梯形的面积及的面积时只要所用方法适当，所得结论正确均可给分）与的函数关系式为：5分（3）图2中，作，垂足为，当时，可知：，6分经过三点的抛物线的解析式为：7分（4）当在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况，设点坐标为当与轴相切时，有，由得：，由，得，当与轴相切时，有，得：，综上所述，符合条件的圆心有三个，其坐标分别是：，10分（每求出一个点坐标得1分）24(本题满分12分) 1抛物线交轴于、两点，交轴于点,已知抛物线的对称轴为，,，（1）求二次函数的解析式；（2） 在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到、两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径24解：（1）将代入，得 将，代入，得 .(1)是对称轴， (2) 2分将（2）代入（1）得， 所以，二次函数得解析式是4分（2）与对称轴的交点即为到的距离之差最大的点点的坐标为，点的坐标为， 直线的解析式是，又对称轴为， 点的坐标 7分（3）设、，所求圆的半径为r，则 ，.(1) 对称轴为， .(2)由（1）、（2）得：.(3) 将代入解析式，得 ，.(4)整理得： 10分由于 r=y，当时，解得， ， （舍去），当时，解得， ， （舍去）所以圆的半径是或12分说明：解答题各小题只给出了一种解法，其他解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应分数28（13分）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于B、C两点（1）直接写出B、C两点的坐标；（2）直线与直线交于点A，动点P从点O沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒（即OP = t）.过点P作PQ轴交直线BC于点Q 若点P在线段OA上运动时（如图1），过P、Q分别作轴的垂线，