概率统计模型

概率统计模型(2) -随机决策模型决策问题是人们在政治、军事、社会、经济南药以及我们的日常生活和学习中都会经常遇到的问题，比如说，你有了余钱，这个钱应该如何支配呢？希望你做出决策来。那么有几个选择方案呢？首先你可以想到把它存到银行，既保险又能增值，但是相对的收入就低一些；有没有其它方案可以选择呢？当然还有，比如说，把你的余钱投资于房地产或者是买股票、玩期货都是选择方案，那么这些方案带有很大的风险性，但相对的收入要比存银行高得多。那么该你决策了，这存银行，还是投资于房地产、去买股票、去搞期货呢？需要你做出决策，再比如说，我们冬季要取暖，在秋天要买些燃料以作冬天取暖用，这就有问题了，假如说正常的冬天你需要10吨煤的话，那么严冬，比较冷的冬天你需要15吨煤，而遇到暖冬你可能需要5吨煤就可以了，那么这个时候就需要你做出相应的决策了，你去买多少煤，如果买多了，恰巧遇到一个暖冬，那么无疑是一种浪费；那么如果买多了，比如买了5吨煤，正好遇到一个严冬，那么到严冬到来的时候你再去买煤的话，那个时候的价格就比秋天买的时候高得多了，你就多付出不少，这同样需要你做出决策来。这样的例子到处都是。应该如何去做呢？就要研究决策问题了。按照决策环境可以分为三大类：确定性决策、不确定性决策和风险性决策，确定性决策我们在以前已经接触过了，比如说通过微分方程的方法建立模型，做出决策，通过规划论的方法建立模型，做出决策，那么这些决策都属于确定性决策；前面说过的投资房地产、买股票、搞期货等是带有风险性的决策，这种决策在实际中经常遇到，因此我们这一讲主要介绍风险性决策，主要内容如下：风险决策模型的概念决策树的概念施工决策问题市场预测问题1、风险型决策是指在作出决策时往往有某些随机性的因素影响，而决策者对于这些因素了解不足，但是对于各种因素发生的概率已知或者可估算出来，这种决策因存在一定的风险而称为风险型决策。2、风险决策模型的基本要素决策者进行决策的个人、委员会或某个组织。方案或策略参谋人员为决策者提供的各种可行计划或谋略。准则衡量所选方案正确性的标准，作为风险型决策，采用比较多的准则是期望效益值准则，即根据每个方案的期望值作出判断事件或状态不为决策者可控制的客观存在的且将发生的自然状态，称为状态（事件）。结果某事件（状态）发生带来的收益或损失值。3、风险决策方法利用树形图法表示决策过程称为决策树法。它具有直观简便的特点，本讲将充分使用这种方法。充分利用灵敏度分析方法对决策结果作进一步的推广和分析。二、决策树的概念例1 某渔船要对下个月是否出海打鱼作出决策，如果出海后是好天气，可获收益5000元，若出海后天气变坏，将损失2000元，若不出海，无论天气好坏都要承担1000元损失费，据预测下个月好天气的概率为0.6，天气变坏的概率为0.4，应如何选择最佳方案？注意：决策树是从左向右画，在画的过程中同时将各种已知数据标于相应的位置上。这样的树形图就是本问题的数学模型。注意：计算过程与画决策树恰好是反向的，即是从右向左进行，先计算最后端每个状态结点的期望值。期望值的计算先计算出海的期望值，将出海收益作为随机变量，相应的天气情况的概率作为概率，便有其概率分布为x5000-2000p0.60.4那么其数学期望为这就是状态结点B的期望值，将此结果标记在状态结点B的上方。同理，将不出海的效益值作为随机变量，可算得期望值为-1000，将其标记在结点C的上方。当然，实际操作的结果，我们出海了，其结果或者是好天气获得5000元，或者是遇到坏天气而损失2000元，二者必占其一，那么期望值是什么呢？就是期望的结果，这就说明风险性决策有风险的道理，总比待在家里损失1000元好。这就像炒股票，玩期货是一个道理。这是一级决策问题，而经常遇到的都是两级决策问题，下面我们看看两级以上决策问题该如何进行具体的求解。三、施工决策问题例2 某建筑工程用正常速度施工，若天气正常，30天即可完工。但据预测15天后天气将转坏，其中有的可能为不影响施工的阴雨天气；有的可能遇暴雨使工期推迟15天；有的可能遇台风使工期推迟20天。面对这种情况有两个方案：第一个方案为提前紧急加班，在天气变坏之前完工，但须多支付18000元工资。第二方案为不提前加班，到15天后再决策：（1）若遇阴雨天，照常施工，按时完工；（2）若遇暴雨也有两个方案：其一，不采取任何措施，但须支付工程延期损失费20000元。其二，采取某种应急措施，但有三种不同的可能性：有可能减少误工1天，须支付延期损失费和应急费24000元；有的可能减少误工2天，须支付延期损失费和应急费18000元；有的可能减少误工3天，须支付延期损失费和应急费12000元。（3）若遇台风，也有两种可能的方案：其一，不采取特别措施，但需支付延期损失费50000元。其二，采取特别措施，有三种可能性：有可能减少误工2天，须支付损失费和应急费54000元；有可能减少误工3天，须支付损失费和应急费46000元；有可能减少误工4天，须支付损失费和应急费38000元。试决策以选择最佳方案。问题已经提出来了，从整个问题看感觉比较乱，那么看看，如何进行它的模型分析。模型分析与建立问题包含了最后决策和15天后看天气情况再决策，这可能的两个阶段，因此属于两阶段决策问题。因此应该画出两阶段的决策树。称15天后根据不同天气作的决策为第1级决策，最后的决策为第2级决策。先画出第二节的决策节点A是第二节的，因为涉及到是否提前加班，需要画出两条决策支，其中的提前加班支，结果是支付18000元。在对应于天气状态的状态节点B（B是不提前加班，15天后看天气情况再决策。），可能遇到三种可能的情况：一个阴雨天气，概率是0.4；二是暴雨天气，概率是0.5；三是台风天气，概率是0.1。这是对于天气的状态节点B引出这么三个概率分支，由于遇到阴雨天的话，照常施工，因此可以讲这个分支的结果直接标在结果点处，因它不影响任何事情，收益值是0。但对后面两点来说问题就困难一点，对于暴雨与台风要进行一次再决策，因此由B出发的这两个概率分支的终点再画出第一级决策的节点，记为C和D ，注意方块形的，这是决策节点，然后按照是否采取应急措施分别向右画出两条决策概率分支（一条是应急措施，一条是正常施工），由于正常施工时直接得到结果（暴雨天气损失20000元，台风天气损失50000元），但是，对于应急措施这一分支，还是要画出它的状态节点E和F，然后从E和F往右分别引出三个概率分支，然后将相应的数据标号，然后把相应数据直接标在结果点处。这样一来我们就把施工决策问题的模型就全部建立完成了。模型求解先做第一级决策：对台风情形，采取应急措施付出的数学期望为：第一级决策节点就完成了，下面要进行真正的决策了，这个C这个决策节点是选择应急措施还是正常施工，要进行决策了，对于D也是如此。先来看D ，由于正常施工的支付是50000元，而采取应急措施的期望值是-50800，采取应急措施比正常施工损失更大，于是决定不采取应急措施而正常施工，这样一来我们就可以把-50000标记在决策节点D的上方，同时把应急措施这一分支剪去。同理，对于暴雨情况，它的正常施工是-20000，采取应急措施期望值是10800，采取应急措施比正常施工的损失要少，于是决定采取应急措施，把10800标记在决策节点C的上方，同时把正常施工这一分支剪去。到这里我们的第一级决策在全部完成，下面进行第二级决策。这样一来我们的决策基本完成了，再看最后决策，由于提前加班需要支付的是-18000，而15天后看天气情况再决策是-14900，比提前加班的损失要小，于是把提前加班这一分支剪去。同时把14900标记在节点A的下方，至此模型就求解完了。结论：最佳的决策是不用提前加班，等15天后若遇阴雨或台风都只须听其自然按原来的进度施工，而遇暴雨则采取应急措施，此决策方案支付的数学期望是14900元。这是一个多级决策问题，表面上看很复杂，其实它的条理性是很清楚的，大家只要把题目多阅读几篇，然后一步步按要求把决策树画出来，再按照期望值法进行求解就可以了。为了熟悉这门课程，也为灵敏度分析问题进行说明打一基础。下面再介绍另外一个模型：四、市场预测问题例3 某公司根据市场预测知，生产的产品会有较大规模的需求量，而目前的产量明显不足。现行状态是公司当前的雇员用每周40小时的正常工作时间运作着，为了提高产量，公司决策集团提出了两种新的方案：1利用现在这些雇员进行超时工作。2增加新设备。市场分析专家认定，对产品的需求增加15的可能性为60，但也提出警告说经济可能恶化，因而需求实际下降5的可能性为40。问题分析与模型建立先画决策树，先画出决策节点A，由于问题的最终结论是要采取三种行动方案的那一个，因此可以直接从A画出三种行动方案的策略分支，然后标上B、C、D这三个状态节点，又三种策略都受两种可能性的影响，一个是增加，一个是减少，因此，在三个状态节点都分别往右画出两个概率分支，并将上述数据标在上面，这样一来模型就建立完了。模型求解把这个结果标在状态B的上方。同样，把这个结果标在状态C的上方。把这个结果标在状态D的下方模型分析1最高期望价值为（），故应剪去保持水平和增加设备两个策略分支，而采取的行动是让雇员超时工作。2本例中假定了对产品的需求增长15的概率为0.6，一般地，若设这种需求的概率为p，则减少5的概率为1-p，于是可能的行动方针的期望值（以万美元计）成为：期望值（当前水平）=30（1-p）+34p=30+4p期望值（超时工作）=