导数与积分经典例题以及答案

高三数学 导数与积分经典例题以及答案一. 教学内容：导数与积分二. 重点、难点：1. 导数公式：2. 运算公式 3. 切线，过P（）为切点的的切线， 4. 单调区间 不等式，解为的增区间，解为的减区间。 5. 极值（1）时，时， 为极大值（2）时，时， 为的极小值。【典型例题】例1 求下列函数的导数。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。分析：直接应用导数公式和导数的运算法则解析：（1）（2）当时，；当时， （3）（4）（5）（6）例2 如果函数的图象在处的切线过点（0，）并且与圆C：相离，则点（）与圆C的位置关系 。解： 切 过（0，） 与圆相离， 点（）在圆内例3 函数在上可导，且，则时有（ ）A. B. C. D. 解：令 任取 即 故选C例4 分别为定义在R上的奇函数、偶函数。时，则不等式的解为 。解：令 奇，偶奇函数 解为例5 已知函数在处取得极值2。（1）求的解析式；（2）满足什么条件时，区间（）为函数增区间；（3）若P（）为图象上任一点，与切于点P求的倾斜角的正切值的取值范围。解： 列表 （1，1） （1，+）令 例6 （1）在x=1，x=3处取得极值，求；（2）在，且，求证：（3）在（2）的条件下，比较与大小关系。解：（1） （2） （3）* *式 例7 已知抛物线和。如果直线同时是和的切线，称是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。（1）取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；（2）若和有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。分析：分别利用曲线 方程求切线的方程再比较，从而求得满足条件；对于（2）两条公切线段互相平分，也就是两公切线段的中点坐标相同。解析：（1）函数的导数，曲线在点的切线方程是即 函数的导数曲线在点的切线方程是即 如果直线是过P和Q的公切线，则式和式都是的方程所以消去得方程若判别式，即时解得，此时点P与Q重合即当时，和有且仅有一条公切线由得公切线方程为（2）由（1）可知，当时和有两条公切线设一条公切线上切点为，其中P在上，Q在上，则有线段PQ的中点为同理，另一条公切线段的中点也是所以公切线段PQ和互相平分例8 已知抛物线过点，且在点处与直线相切，求的值。解析： 抛物线在点处与直线相切 ，且即又抛物线过点（1，1） （3）将（1）（2）（3）联立解得例9 设函数的图象与轴的交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为，若函数在处取得极值为0，试确定函数的解析式。解析： 的图象与y轴交点为P 点P的坐标为 曲线在P点处的切线方程为，故P点坐标适合此方程，将代入后得又切线的斜率为而， 又函数在处取得极值0 且即由（1）（2）解得 例10 已知曲线。（1）求曲线在点P（1，1）处的切线方程；（2）求曲线过点Q（1，0）的切线方程；（3）求满足斜率为的曲线的切线方程。解析：（1） ，又P（1，1）是曲线上的点 P为切点，所求切线的斜率为 曲线在P点处的切线方程为，即（2）显然Q（1，0）不在曲线上，则可设过该点的切线的切点为，则该切线斜率为则切线方程为（*）将Q（1，0）代入方程（*）得得。故所求切线方程为（3）设切点坐标为，则切线的斜率为解得 或，代入点斜式方程得或即切线方程为或例11 已知，函数，设，记曲线在点处的切线为。（1）求的方程；（2）设与x轴交点为，证明： ； 若，则。解析：（1）求的导数：，由此得切线的方程：（2）依题意，切线方程中令 当且仅当时等号成立 若，则，且由，所以例12 设函数，其中，求的单调区间。解析：由已知得函数的定义域为，且（1）当时，由知，函数在上单调递减（2）当时，由，解得随x的变化情况如下表：x0+极小值从上表可知当时，0，函数在上单调递减当时，函数在上单调递增综上所述：当时，函数在上单调递减当时，函数在上单调递减，在上单调递增例13 已知函数在R上是减函数，求的取值范围。分析：因为在R上为减函数，即在R上恒成立，再解不等式即可得解。解析：求函数的导数：（1）当时，是减函数，且所以，当时，由知是减函数；（2）当时，由函数在R上的单调性，可知当时，是减函数；（3）当时，在R上存在一个区间，其上有所以，当时，函数不是减函数综上，所求的取值范围是例14 设为实数，函数在和上都是增函数，求的取值范围。解析：其判别式（1）若，即当或时，在上为增函数 （2）若，恒有，在上为增函数 即（3）若，即，令解得，当或时，为增函数当时，为减函数依题意得由得，解得由得解得从而 综上，的取值范围为即【模拟试题】（答题时间：60分钟）1. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 2. 设，曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则到曲线对称轴距离的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 04. 的导数为（ ）A. B. C. D. 5. 已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为（ ）A. B. C. D. 6. 设分别为定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 7. 函数的导数为（ ）A. B. C. D. 8. 设是函数的导函数，的图象如下图所示，则的图象最有可能的是（ ） 9. 函数在处的导数等于（ ） A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知与是定义在R上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）A. 0是的极大值，也是的极大值B. 0是的极小值，也是的极小值C. 0是的极大值，但不是的极值D. 0是的极小值，但不是的极值11. 已知二次函数的导数为，对于任意实数，都有，则的最小值为（ ）A. 3B. C. 2D. 12. 设函数是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（ ）A. B. 0C. D. 513. 已知对任意实数x，有，且时，则时（ ）A. B. C. D. 14. 若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）A. B. C. D. 15. 设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 16. 若对任意，则是（ ） A. B. C. D. 17. 是定义在上的非负可导函数，且满足 任意正数，若，则必有（ ）A. B. C. D. 18. 曲线在点处切线的倾斜角为（ ）A. 30B. 45C. 135D. 4519. 设，则等于（ ）A. B. C. D. 20. 抛物线到直线的最短距离为（ ）A. B. C. D. 以上答案都不对 21. 已知函数的图象与x轴切于非原点的一点，且。（1）求的值；（2）函数，若函数 在区间上单调，求m的取值范围。 22. 已知函数是R上的奇函数，且，。（1）求的值；（2）在的图象C上任取一点P，在点P处的切线与图象C的另一个交点为Q，设点P的横坐标为，线段PQ中点R的纵坐标为。 用表示； 当时，求的最大值。 23. 已知函数，（为常数），若直线与，的图象都相切，且与的图象相切的切点横坐标为1。（1）求直线的方程及的值；（2）当时，求在上的最大值。 24. 已知函数。（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若方程至多有两个解，求实数的取值范围。【试题答案】1. A 2. B3. D4. C5. A6. D7. C8. C 9. D10. C11. C12. B13. B14. A15. D 16. B17. C18. B19. C20. B21. 解：（1）设函数的图象与x轴切于点 又 由，代入式得把代入中，则令，当时，当时，不符合题意综上所述，（2）由（1）知 在上单调，即在上恒大于零或恒小于零又由二次函数性质，有恒大于零当时， 当时， m无解 综上所述22. 解：（1）由为奇函数可知 ，