导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问题

导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问题第一部分：历届导数高考压轴题 1.2006年全国2理设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围2.2006全国1理已知函数.（）设，讨论的单调性；（）若对任意恒有，求的取值范围.3.2007全国1理设函数（）证明：的导数；（）若对所有都有，求的取值范围4.2008全国2理设函数（）求的单调区间；（）如果对任何，都有，求的取值范围5.2008辽宁理设函数.求的单调区间和极值;是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.6.2010新课标理设函数=.（）若，求的单调区间;（）若当x0时0，求a的取值范围7.2010新课标文已知函数.（）若在时有极值，求函数的解析式；（）当时，求的取值范围.8.2010全国大纲理设函数.（）证明：当时，；（）设当时，求的取值范围.9.2011新课标理已知函数，曲线在点处的切线方程为.（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围.10.自编自编：若不等式对于恒成立，求的取值范围.第二部分：新课标高考命题趋势及方法1. 新课标高考命题趋势近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为了热点.2.分类讨论和假设反证 许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数法，一部分题用这种方法很奏效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路分类讨论和假设反证的方法.3.洛必达法则 虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.第三部分：洛必达法则及其用法1.洛必达法则洛必达法则：设函数、满足：（1）；（2）在内，和都存在，且；（3） （可为实数，也可以是）.则.（可连环使用）注意 使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值。2.2011新课标理的常规解法已知函数，曲线在点处的切线方程为.（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围.（）略解得，.（）方法一：分类讨论、假设反证法由（）知，所以.考虑函数，则(i)当时，由知，当时，.因为，所以当时，可得；当时，可得，从而当且时，即；（ii）当时，由于当时，故，而，故当时，可得，与题设矛盾.（iii）当时， ，而，故当时，可得，与题设矛盾.综上可得，的取值范围为.注：分三种情况讨论：；不易想到.尤其是时，许多考生都停留在此层面，举反例更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.3.运用洛必达和导数解2011年新课标理当，且时，即，也即，记，且则，记，则，从而在上单调递增，且，因此当时，当时，；当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.由洛必达法则有 ，即当，且时，.因为恒成立，所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范围为.注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数分离出来.然后对分离出来的函数求导，研究其单调性、极值.此时遇到了“当时，函数值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.当然这一法则出手的时机：（1）所构造的分式型函数在定义域上单调（2）是型。4.运用洛必达和导数解2010新课标理设函数.（）若，求的单调区间；（）当时，求的取值范围.应用洛必达法则和导数（）当时，即.当时，；当时，等价于.记 ，则. 记 ，则，当时，所以在上单调递增，且，所以在上单调递增，且，因此当时，从而在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，所以当时，所以，因此.综上所述，当且时，成立.5.运用洛必达和导数解自编题自编：若不等式对于恒成立，求的取值范围.解：应用洛必达法则和导数当时，原不等式等价于.记，则.记，则.因为，所以在上单调递减，且，所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，且，故，因此在上单调递减.由洛必达法则有，即当时，即有.故时，不等式对于恒成立.通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足： 可以分离变量；用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；出现“”型式子.6.运用洛必达和导数解2010年新课标文2010海南宁夏文（21）已知函数.（）若在时有极值，求函数的解析式；（）当时，求的取值范围.解：（）略（）应用洛必达法则和导数当时，即.当时，；当时，等价于，也即.记，则.记，则，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，所以，即有.综上所述，当，时，成立.7.运用洛必达和导数解2010年大纲理2010全国大纲理（22）设函数.（）证明：当时，；（）设当时，求的取值范围.解：（）略（）应用洛必达法则和导数由题设，此时.当时，若，则，不成立；当时，当时，即；若，则；若，则等价于，即.记，则.记，则，因此，在上单调递增，且，所以，即在上单调递增，且，所以.因此，所以在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，即有，所以.综上所述，的取值范围是.8.运用洛必达和导数解2008年全国2理设函数（）求的单调区间；（）如果对任