《工程电路课件第一版》第2章电阻电路的分析方法

第2章 电阻电路的分析方法,2.1 两类约束与电路方程2.2 支路电流法2.3 网孔电流法2.4 节点电压法2.5 理想运算放大器电路分析2.6 电路的对偶性*2.7 研究性学习：储能元件VCR曲线,重点：1. 掌握支路电流法、网孔电流法及节点电压法的计算。2.掌握含理想放大器的电路的分析及计算。3. 了解对偶原理及应用。,1.KCL的独立方程数,根据基尔霍夫定律，对节点A、B、C、D分别列出KCL方程，为,可以证明：对于具有n个节点的电路，任取其中n-1的个节点可以列出n-1个独立的KCL方程。,2.1 两类约束与电路方程,2.KVL的独立方程数,对于图所示的电路，若对回路(1，2，4，3)、(3，4，6)、(1，5，3)按顺时针方向列出KVL方程,可以证明，对于具有个n节点、b条支路的电路，可以列出的KVL独立方程的个数是b-n+1个，即有b-n+1个独立回路。,3. 平面电路与非平面电路,能够画在一个平面上而没有支路交叉的电路称为平面电路，否则，称为非平面电路。,对于具有个n节点b条支路的电路，则有个b-n+1网孔，其独立的KCL方程数为n-1，独立的KVL方程数为b-n+1，总共有b个独立方程。,2.2 支路电流法,以支路电流为未知量，列出独立的KCL、KVL方程组，解方程以求得各支路的电流，再根据支路特性求得所需要的电压、功率等，这种分析电路的方法称作支路电流法(branch current method)。,支路电流法的步骤：,(1) 标定各支路电流（电压）的参考方向；,(2) 选定(n1)个节点，列写其KCL方程；,(3) 选定b(n1)个独立回路，列写其KVL方程； (元件特性代入),(4) 求解上述方程，得到b个支路电流；,(5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。,【例2 1】 试列出图2 5所示电路的求解支路电流的方程。,解 (1) 在电路图中标出所有支路电流及其参考方向。,(2) 对(n1)个独立节点列KCL方程。,节点：,节点：,节点：,【例2 1】 试列出图2 5所示电路的求解支路电流的方程。,(3) 对b(n1)个独立回路列KVL方程。,回路1：,回路2：,回路3：,(4) 联立KCL、KVL方程解出支路电流。,【例2 2】 图2 6所示电路中含有理想电流源，求各支路电流及理想电流源的端电压U。,解 (1) 在电路图中标出所有支路电流及其参考方向。,(2) 对(n1)个独立节点列KCL方程。,节点：,节点：,【例2 2】 图2 6所示电路中含有理想电流源，求各支路电流及理想电流源的端电压U。,解,(3) 对b(n1)个独立回路列KVL方程。,回路1：,回路2：,回路3：,(4) 联立上述5个方程解出支路电流及理想电流源的端电压U。,1 网孔电流,由R1、R2、R3构成一个网孔回路，假想有一个电流沿着构成该网孔的各个支路循环流动，电流im1就称为网孔电流。 同样， im2 、 im3是另外两个网孔回路的网孔电流。,2.3 网孔电流法,2 网孔电流法方程,首先设定网孔电流的参考方向，并以此作为列出KVL方程的回路绕行方向。然后，根据KVL列出关于网孔电流的电路方程。,这是以网孔电流为求解对象的网孔电流方程，简称网孔方程。,写成矩阵形式得：,可以归纳出网孔电流方程的一般形式,由独立电流源和线性电阻构成的具有个网孔电路，其网孔方程的一般形式为,例2-3 用网孔电流法求图所示电路中各支路电流,3 网孔电流法举例,解 选定网孔电流的参考方向如图所示，列出网孔方程,网孔a网孔b网孔c,例3.4 用网孔电流法求图所示电路中各支路电流,3 网孔电流法举例,解,整理得:,联立方程组解得：,2.3.2 含电流源支路的处理,方法1 对电路进行变形，将电流源置于网孔外边沿（即使无伴电流源电流仅属于某一个网孔电流），则电流源的电流即为某一个网孔电流，可少列一个KVL方程。,方法2 当公共支路含有电流源时，可以先把电流源看作电压源。假设电流源两端的电压为未知量，列写到网孔KVL方程(2 10)式的右边。这样，网孔方程中增加了一个未知量，可以通过增列电流源的电流与网孔电流的约束方程来解决。,方法3 用含有公共电流源的相邻网孔来构造一个“超网孔”(super mesh)，使电流源位于超网孔的内部，再对不含电流源的网孔（包括超网孔）列写网孔KVL方程。这种方法没有把电流源的电压引入KVL方程，可以相应减少电路方程数，是一种较简便的方法。,2.3.2 含电流源支路的处理,【例24】 试用网孔电流法求解下图所示电路中的电流IX。,解法一 把电流源看作电压源来处理,(1) 设网孔电流的参考方向及电流源电压的参考极性如下图所示。,(2) 把电流源看作电压为u的电压源列入到网孔KVL方程。,再增列电流源支路与解变量网孔电流的约束方程,【例24】 试用网孔电流法求解下图所示电路中的电流IX。,解法一 把电流源看作电压源来处理,(3) 联立上述5个方程求解得,(4) 最后求解其它变量,解法二 构造“超网孔”的方法,(1) 设网孔电流的参考方向如下图所示。,(2) 构造一个不含电流源的“超网孔”，如图2 11中虚折线所示。对于不含电流源支路的网孔（包括超网孔）列写KVL方程。,再增列电流源支路与解变量网孔电流的约束方程。,解法二 构造“超网孔”的方法,(3) 联立上述3个方程求解得,(4) 最后求解其他变量,2.3.3 含受控源支路的处理,当电阻电路中含受控源，可以先把受控源当作独立电源，列写到各网孔KVL方程等式的右边，再增列控制量用网孔电流表示的补充方程。,【例2 5】 用网孔电流法求图2 12所示含受控源电路中的iX（图中r = 8 ）。,解 (1) 设网孔电流的参考方向如图2 12所示。,(2) 把受控电压源看作独立电源，列写到各网孔KVL方程等式的右边。,(3) 增列控制量用网孔电流表示的补充方程。,(4) 联立上述3个方程求解得,2.4.1 节点KCL方程列写,以图2 17所示电路来说，它有四个节点，若选节点为参考节点，则其余三个节点分别对参考节点的电压即为uN1、uN2和uN3。,对图2 17所示电路，在节点、运用KCL得,(2 11),2.4 节点电压法,2.4.1 节点KCL方程列写,用节点电压表示各支路电流，分别为,(2 12),2.4.1 节点KCL方程列写,将式(2 12)代入式(2 11)，并进行整理，可得,(2 13),把式(2 13)改写为如下形式：,(2 14),式中，G11、G22、G33分别称为节点、和的自电导，它们分别是各节点上所有电导的总和，等于接在节点j上所有支路电导之和(包括电压源与电阻串联支路)，总为正。,iS11、iS22、iS33分别为输入节点、的电流源电流的代数和，其中输入节点的电流源的电流取正，反之取负。,G12和G21称为节点和的互电导，它们是该两节点间的共有电导的负值，且有G12 = G21；G13、G31、G23、G32分别为其下标数字所示节点间的互电导，分别为有关两节点间共有电导的和，总为负值，且有G13 = G31，G23 = G32。,对具有(n1)个独立节点的电路，节点方程的标准形式应为,【例2 7】 电路如下图所示，试用节点电压法求解节点电压uN1和uN2，并求支路电流i1、i2和i3。,解 (1) 设参考节点并用接地符号标出，其余节点的节点电压设为uN1、uN2。,(2) 以节点电压为求解变量，列写(n1)个KCL方程。,【例2 7】 电路如下图所示，试用节点电压法求解节点电压uN1和uN2，并求支路电流i1、i2和i3。,解,(3) 整理上述方程得,解得,(4) 支路电流为,2.4.2 含电压源支路的处理,方法1 尽量取电压源支路的一端为参考节点，这时电压源的另一端的节点电压为已知量，故不必再对该节点列写节点KCL方程。,方法2 若电压源两端均不能成为参考节点，在列写节点KCL方程时必须考虑流过电压源的电流，需要先假设电压源的电流为未知量，把电压源看作电流为i的电流源，列写到节点KCL方程等式的右边。由于i是未知量，故必须再增列电压源的电压与求解变量节点电压的约束方程。这种方法使求解变量的个数增加，电路方程增加，比较麻烦。,2.4.2 含电压源支路的处理,方法3 用含有公共电压源的相邻节点来构造一个“超节点”(super node)，使电压源位于超节点的内部，再对不含电压源支路的节点（包括超节点）列写KCL方程。这种方法没有把电压源的电流引入KCL方程，可以相应减少电路方程数，是一种较简便的方法。,解法一 取电压源支路的一端为参考节点的方法,【例2 10】 试用节点电压法分析图2 21所示电路。,取电压源一端节点为参考节点，则电压源另一端的节点电压为已知。,【例2 10】 试用节点电压法分析图2 21所示电路。,解法二 先将电压源当作电流源的方法,设节点为参考节点，并设流过电压源的电流为IU，则,再相应增加一个电压源支路的约束方程,2.4.3 含受控源支路的处理,当电路中含有受控源时，先把受控源看作独立源，列写到各节点KCL方程等式的右边，再增列控制量用求解变量节点电压表示的补充方程。,【例2 11】 电路如图2 22所示，试列出节点电压方程。,解 (1) 先把受控源看作独立源，设流过CCVS的电流为i1，对节点、列写节点电压方程,(2) 增列受控电压源的电压与节点电压的约束方程,【例2 11】 电路如图2 22所示，试列出节点电压方程。,解,(3) 增列控制量与节点电压的约束方程,(4) 联立上述6个方程求解,节点电压法的步骤可以归纳如下：,(1) 指定参考节点，其余节点对参考节点之间的电压即为节点电压。,(2) 列出节点电压方程，注意自电导总是正值，互电导总是负值，流进节点的电流源电流取正值，流出节点的电流源电流取负值。,(3) 当电路中有受控电压源或独立电压源时，需指定其电流的参考方向，然后参照电流源支路进行处理。,2.5.1 运算放大器电路模型,同相输入端（non-inverting input terminal，用“+”表示）反相输入端（inverting input terminal，用“”表示）输出端（output terminal）。,2.5 理想运算放大器电路分析,运算放大器的转移特性（输出输入特性）,对于运放，输出电压是两个输入电压之差（u+ u）的函数。电压传输特性方程是,运放工作在线性区的电路模型,当输出电阻Ro可以忽略不计时，受控源的电压即为运算放大器的输出电压，即,2.6.2 理想运算放大器电路分析,作为电路元件的运放，是实际运放的理想化的模型，理想化的条件如下：,(1) 开环电压增益无穷大，,(2) 输入电阻无穷大，,；,(3) 输出电阻无穷小，,(4) 共模抑制比无穷大，,理想运放工作在线性区的两个重要分析依据,(1) 虚短,(2) 虚断,【例2 12】 下图所示电路是一个反相放大器，试求出输入u1与输出uo的关系。,再根据“虚短”得,。,对节点列节点KCL方程,可以得出,【例2 13】 下图所示电路是一个反相加法器，可对输入电压进行加法运算，试求出输入电压与输出电压之间的关系。,再根据“虚短”得,对节点列节点KCL方程,可以得出,【例2 14】 下图所示电路是一个同相放大器，试求输入u1与输出uo的关系。,再根据“虚短”得,对节点列节点KCL方程,可以得出,【例2 15】 下图所示电路是一个减法器，试求输出电压uo与输入电压u1、u2的关系。,根据“虚断”,对节点、列节点KCL方程,再根据“虚短”得,从上式可以解出,【例2 16】 设计一个差分放大器，要求如下：差分放大器的增益为8，能放大两个输入电压的差。使用理想运放以及8V电源。(2) 假定(1)中设计的差分放大器中u1 = 1 V，为了保证运放处于线性工作区，输入电压u2的变化范围是多少？,解 (1) 使用差分放大器的计算公式,则,在实际电阻中寻找两个电阻，其比值为8。这里选择RF = 12 k，则R1 = 1.5