恒成立问题习题

2017年12月2日数学试卷 一、选择题（共2小题；共10分）1. 已知 ，若 恒成立，则 的取值范围为 A. B. C. D. 2. 已知 ，若 恒成立，则 的取值范围为 A. B. C. D. 二、填空题（共2小题；共10分）3. 若对任意正实数 ，不等式 恒成立，则实数 的最小值为 4. 若对于 ， 恒成立，则 的取值范围是 三、解答题（共6小题；共78分）5. 已知函数 （1）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围 6. （1）若不等式 对于一切 恒成立，求 的取值范围；（2）若不等式 对于一切 恒成立，求 的取值范围 7. 已知 ，且 （1）若 恒成立，求 的取值范围；（2）若 恒成立，求 的取值范围 8. 设函数 （1）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围 9. 设函数 （1）若对于一切实数 ， 恒成立，求 的取值范围；（2）对于 ， 恒成立，求 的取值范围 10. 已知 （1）求 的单调区间；（2）当 时，求证：对于 ， 恒成立；（3）若存在 ，使得当 时，恒有 成立，试求 的取值范围答案第一部分1. A2. A第二部分3. 【解析】因为对任意正实数 ，不等式 恒成立，所以等价于 ，所以 ，所以实数 的最小值为 4. 【解析】由题意 恒成立， ，所以 第三部分5. （1） ， ，解得： .（2） ，对称轴 ，所以： 无解； 或 解得： ；或 解得： .综上， .6. （1） 由已知可得 对一切 恒成立，设 ，则 ，当且仅当 时， 取到最小值 ，所以 的取值范围是 （2） 因为 ，则可把原式看作关于 的函数，即 ，由题意可知， 解之得 ，所以 的取值范围是 7. （1） 因为 ，且 ，所以 ，当且仅当 时“”成立，由 恒成立，故 （2） 因为 ，所以 ，若 恒成立，则 ，当 时，不等式化为 ，解得 ，当 ，不等式化为 ，解得 ，当 时，不等式化为 ，解得 综上所述 的取值范围为 8. （1） 当 时， 恒成立，当 时，要保证 恒成立，即 的最小值 ，解得 ，故 （2） 由题意可知，函数 的图象恒在直线 的上方，画出两个函数图象可知，当 时，符合题意，当 时，只需满足点 不在 的下方即可，所以 ，即 综上，实数 的取值范围是 9. （1） 要 恒成立，若 ，显然 ；若 ，则 所以 的取值范围为 （2） 要 恒成立，就要使 ，令 ，当 时， 是增函数，所以 所以 ，解得 所以 当 时， 恒成立当 时， 在 上是减函数所以 ，解得 ，所以 综上所述，10. （1） 当 时，所以 解得 当 时，解得 所以 单调增区间为 ，单调减区间为 （2） 设 当 时，由题意，当 时， 恒成立 所以当 时， 恒成立， 单调递减又 所以当 时， 恒成立，即 所以对于 ， 恒成立（3） 因为 由知，当 时， 恒成立，即对于 ，不存在满足条件的 ；当 时，对于 ，此时 所以 ，即 恒成立，不存在满足条件的 ；当 时，令 ，可知 与 符号相同， 为一开口