极值和极值点的概念

2.6.1极值和极值点的概念定义2.6设函数y=f(x)在x0的一个邻域内有定义，,若对于该邻域内异于x0的x恒有,(1)f(x0)f(x)，,则称f(x0)为函数f(x)的极大值，,x0称为f(x)的极大值点；,(2)f(x0)0时，则x0为极小值点，f(x0)为极小值；,(2)当f(x0)1时f(x)0,极大值f(1)=10.,极小值f(3)=22.,补充例题2.求f(x)=,的极值,解:,x0时,f(x)0,故得极小值f(0)=0,补充例题3.求,的极值.,解:f(x)以2为周期，故考虑区间0,2),令f(x)=cosxsinx=0,又,有,得驻点,由定理2.6知,由周期性知,分别为f(x)的极大值点和极小值点.,补充例题4求函数f(x)=(x-1)2(x-2)3的极值.,解(1)定义域为(-,+).,f(x)=(x-1)(x-2)2(5x-7).,所以由f(x)=0可得f(x)的三个驻点：,该函数在定义区间内无不可导的点，,上述驻点将定义区间分为四个子区间,(2)当x(-,1)时，f(x)0；,f(x)0；,当x(2,+)时，f(x)0.,因此，由定理3可知，x=1为极大值点，,x=2不是极值点(因为在x=2的两侧f(x)同为正号).,(3)计算极值,极大值f(1)=(1-1)2(1-2)3=0，,有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：,补充例题5求函数f(x)=x410 x2+5的极值.,因为,解(1)定义域为(-,+).,f(x)=4x320 x=4x(x2-5)，,所以，由f(x)=0可得该函数的三个驻点,所以有,由定理2.6可知：,(2)因为,f(x)=12x220，,(3)计算极值：,请阅读书上第41页例1和例2,例1求函数的极值,例2求函数在区间内的极值,函数的最大最小值在很多实际问题中，需要求出最大或最小值表示这些问题的函数一般在区间上是连续的根据以上讨论，具备这种条件的函数的最大、最小值总是存在的，它们只可能在的点、不存在的点或区间端点处取得,求在上最大、小值的步骤：,(1)求出及不存在的点；,(2)比较的大小其中最大的便是最大值，最小的便是最小值,补充例题6.求f(x)=x48x2+2在1,3上的最大值和最小值.,解：f(x)=4x316x=4x(x2)(x+2),令f(x)=0得驻点x1=0,x2=2,x3=2(舍去),计算f(0)=2,f(2)=14,f(1)=5,f(3)=11,所以最小值f(2)=14,最大值f(3)=11,补充例题7.求f(x)=x2ex的最大值和最小值.,解：f(x)在定义域(,)上连续可导且f(x)=x(2x)ex,令f(x)=0得驻点x=0,x=2,有f(0)=0，f(2)=4e2,且,故f(x)在定义域内有最小值f(0)=0，无最大值.,y=x2ex,0,2,(1)f(x)C(a,b)，且在(a,b)内只有唯一极值点x=x0.则当f(x0)极大时便也最大，当f(x0)极小时便也最小.,特例,(2)f(x)C(a,b),且在(a,b)内单调增加，则f(a)最小，f(b)最大.单调减少则相反.,补充例题8.某企业开发出一种新产品.已知生产销售x件产品所需成本费用C=25000+5x(元).若每件产品销售价为,问生产销售多少件,产品，能使企业的利润最大？这时每件产品的销售价定为多少？,解：目标函数:,=xPC,利润L=收入成本,亦即最大值点.故生产销售x=2500件产品可使企业的利润最大，此时,求解：,课常练习试求函数f(x)=3x4-16x3+30 x224x+4,在区间0,3上的最大值和最小值.,解f(x)=12x3-48x2+60 x24,令f(x)=0，得驻点x=1，x=2，,它们为f(x)可能的极值点，,算出这些点及区间端点处的函数值：,=12(x-1)2(x-2)，,