2020届高三数学4月教学质量测评试题 理答案.pdf

理科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) 华大新高考联盟 届高三月教学质量测评 理科数学参考答案和评分标准 一、 选择题 【 答案】 d 【 命题意图】 主要考查复数的概念及相关运算, 考查考生的运算求解能力 【 解析】 因为z i i , z i, 所以zz( i) ( i)故选d 【 答案】a 【 命题意图】 主要考查指数函数和对数函数的单调性、 集合子集的概念、 充要条件, 考查考生的逻辑推理能力 【 解析】 ax|x ,bx|xa当a时,bx|x所以ba 当ba时, 即a, 并不能得到a故选a 【 答案】 c 【 命题意图】 主要考查等差数列通项公式及前n项和的应用, 考查考生的运算求解能力和逻辑推理能力 【 解析】 因为aaa , 所以a 又a, 所以aa aa s (aa ) 故选c 【 答案】 d 【 命题意图】 主要考查以数学文化为背景的概率问题, 考查考生的化归转化能力、 数学建模能力和逻辑推理 能力 【 解析】 因为 r s i n r , 所以 故选d 【 答案】 c 【 命题意图】 主要考查对数函数的性质, 考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力 【 解析】 因为x l g , y l n ,z l o g, 所以x最小 又因为yl g l ge , z l g l g , 所以yz, 所以xyz故选c 【 答案】 c 【 命题意图】 主要考查程序框图有关知识、 二次函数单调性以及古典概型, 考查考生的逻辑推理能力和数形 结合能力 【 解析】 当xy;xy;xy;xy; x y;x, 退出循环, 所以a, , , 又函数f( x)x m x 在 ,) 上是增函数, 所以m m 函数f( x)x m x 在 ,) 上是增函数的概率为 , 故选 c 【 答案】a 【 命题意图】 主要考查函数的性质与图象, 考查考生的化归转化能力和数形结合能力, 以及逻辑推理、 直观 想象和数学运算 【 解析】 因为f(x)g(x) e xc o s x, 所以f(x)g(x) e xc o s (x) , 理科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) 即f( x)g(x) e xc o s ( x) , 所以f(x)g(x) c o sx e x 因为y c o s x e x , 当x 时, y, 所以c,d错误 又 y (s i nx c o sx) e x s i nx e x , 所以x 为极值点, 即 b错误故选a 【 答案】 c 【 命题意图】 主要考查等比数列有关知识, 考查考生的数学抽象、 逻辑推理和数学建模能力 【 解析】 设每个实验室的装修费用为x万元, 设备费为a n 万元( n, , ) 则 aa , aa , 所以 aq aq , aq aq , 解得 a, q 故a aq 依题意x , 即x 所以总费用为 xaaa x ( ) x 故选c 【 答案】 b 【 命题意图】 主要考查抛物线的定义、 抛物线的标准方程、 直线方程等知识, 考查考生的化归转化思想、 数形 结合思想以及数学运算能力 【 解析】 如图所示, 设b点的坐标为(x, y) , 则|b f|x, 所以x,b点的坐标为(, ) 所以线段b f的中点d的坐标为 , 设a( x,y) ,c(x,y)有y x,y x, 且 yy 所以y y ( xx) , 所以 yy xx yy , 所以ka c 对角线a c所在的直线方程为a c: yx , 即 xy故选b 【 答案】 c 【 命题意图】 主要考查三角函数的图象与性质, 考查考生的化归与转化能力、 数形结合能力, 考查逻辑推理 与直观想象 【 解析】 f() s i n c o s t a n 因为 , 所以t a n t a n , 所以t a n 故正确 设y | s i nx| s i nx s i nx, kxk, s i nx,kxk , kz 显然f( x) 是以 为周期的周期函数作y | s i nx| s i nx,x, 的图象如图所示 由图可知f( x) 的值域为 c o s , c o s , 即错误 由f( x) 的函数图象可知,f(x) 在, 上单调递增又因为f( x) 是周 期为 的函数, 所以f( x) 在 , 上单调递增, 即正确 又因为 , 所以 c o s , 所以 c o s 理科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) f(x) | s i nx| s i nx c o s 由图象可知f( x) 在, 内有四个零点 且 xx , xx , 所以xxxx , 所以正确 故选c 【 答案】d 【 命题意图】 主要考查双曲线的定义及几何性质、 平面向量的运算, 考查考生的运算求解能力、 化归转化能 力和数形结合能力 【 解析】 因为fb f a , 所以点f ,a, b共线, 且|a b | |a f | 因为a f a ba f ( a f f b ) a f a f f b a f , 所以f b a f , 所以f b a f 设|a f |m, 则|a b |m, 由双曲线定义得 |a f |ma, m|b f |a, |a f | | b f | m , 所以( ma) ( ma) m m m aa ( ma) (ma) , 解得ma或m a 若ma时, |a f |a,|b f |a, 因为|a f |b f |, 故舍去 若m a时,|a f | a,|b f |a,|b f |a,|a b | a,c o s a b f a a 在fb f中, c a a aa c a e , 故选d 【 答案】a 【 命题意图】 考查空间线线、 线面、 面面的平行与垂直关系, 考查考生的空间想象能力、 化归转化能力和直 观想象能力 【 解析】 如图, 补正方体a b j k abi h, 作平面mnp与正方体a b c d abcd的截面, 设a b, 易知a ea f 易证b cb i,b ca b,b ia bb, 所以b c平面a b i h,即平面a b i h为平面, 所以直线g f为n, 直线h i为m, 又h ia b,a f g为直线m与直线n所成的角 设a gx,ghy, 而a e ghng, 所以 xy , x y , 解得x 理科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) 在r t a g f中, t a n a f ga g a f , 故选a 二、 填空题 【 答案】 【 命题意图】 主要考查二项式定理有关知识, 考查考生的运算求解能力 【 解析】 因为trc r x r x r r c r x r, 令r, 所以r,t 【 答案】 【 命题意图】 主要考查平面图形折叠中的线面关系以及球的表面积, 考查考生的空间想象能力和转化与划 化归能力 【 解析】 沿ad折叠后二面角b ad c为 , 即折叠后b d c , 所以d b c为等边三角形 又因为a b, 所以折叠后add bb cc d 设点o为三棱锥a b c d外接球的球心,o为b d c的外心 所以 s i n d o, 所以d o 又o o ad , 所以球心半径rd o o o 所以s球 r 【 答案】 【 命题意图】 主要考查平面向量加、 减、 数量积的运算, 以及三角形内切圆和外接圆有关问题, 考查考生的 化归与转化能力, 逻辑推理和运算求解能力 【 解析】 因为a b c为直角三角形, 所以内切圆o的半径r , 外接圆o的半径r a b , pm pn( p o o m ) ( p o o n ) p o p o ( om o n ) om o n | p o | 又|oo | () , 理科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) 所以|p o |的最大值为 , 所以pm pn的最大值为 【 答案】 l n , l n 【 命题意图】 主要考查函数零点, 利用导数分析函数的图象及性质, 考查考生化归转化能力、 推理运算能力 和数形结合能力 【 解析】 因为f(x)a x a x l n x l n x l n xa x ( l n x) l n x(l n x)(l n x) ( a x l n x),x, 所以 l n x 或a x l n x 由得xe , 由得 a l n x x 令g( x) l n x x , 则 g ( x) ( l n x) x , 所以x e 当x , e 时, g ( x),g(x) 单调递增, x e , 时, g ( x),g(x) 单调递减 事实上, 当x 时, g(x), 当x时,g(x) 由图显然x(, ) ,xe ( ,) , 所以x, x, 而 xxx, 所以x, 即x,) 所以 ag() , ag() , 即 a l n , a l n , 解得 l n a l n 三、 解答题 【 命题意图】 主要考查解三角形、 三角恒等变换、 等比中项以及均值不等式的应用, 考查考生的转化与化归 能力和运算求解能力 【 解析】 ( ) 因为b a cs i nba c a c, 所以a c a cc o sb a cs i nba c a c,分 所以 s i nb c o sb,即s i nb 分 因为 b ,所以b , 分 所以b 分 ( )a b c的面积为 , 所以 a cs i n , 即 a cs i n , 所以a c分 因为, b,|ac|成等比数列, 所以b | ac|, 由于ac, 所以 b |ac| 分 又b a c a cc o s (ac) a c(ac) 分 所以 b |ac| ( ac) |ac| |ac| |ac| 分 当且仅当|ac| 时, 取“” 理科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) 所以的最小值为 分 【 命题意图】 主要考查空间面面垂直关系, 直线与平面所成角的求法, 考查考生的空间想象能力、 推理论证 能力和运算求解能力 【 解析】 ( ) 连接ac,an, 因为四边形a c ca为菱形,aa c , 所以aa c为等边三角形 而点n为a c中点, 所以ana c 又平面a c ca平面a b c, 分 所以an平面a b c, 所以anb c 分 而四边形c b bc为正方形, 所以b cc c而c caa, 所以b caa 分 又因为a aana, 所以b c平面a acc 分 又因为b c平面b c cb, 所以平面b bcc平面a c ca 分 ( ) 设ac的中点为点p, 以c点为坐标原点, 分别以向量c a , c b , c p 为x 轴, y轴,z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系, 则有a(, ,) ,b(,) ,a(,) ,n(,)分 a b ( ,) ,am a b , , , na ( ,) , 所以nm naam , , 分 又na ( ,) ,ab a b( ,) , 所以nb na a b ( ,)分 设平面bmn的法向量为n( x,y,z) , 则 nnm , nnb , 所以 x y, xy z 取y, 则n(, , ) , 分 b b a a ( ,) 分 设为直线b b与平面bmn所成的角, 所以s i n b b n |b b | |n| (, ,) (, ) , 所以直线b b与平面bmn所成角的正弦值为 分 【 命题意图】 主要考查椭圆的标准方程及几何性质, 直线与椭圆的位置关系, 正弦定理等知识, 考查考生的 逻辑推理能力和运算求解能力以及数形结合思想和化归与转化思想等 【 解析】 ( ) 依题意: c a , ab , a b c , 分 所以 a, b 分 椭圆的方程为 x y 分 ( ) 设c(x,y) (y) , 则 x y ,a(,) ,b(,) 理科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) 直线a c: y y x x 与直线l: x联立得m, y x 直线b c: y y x x 与直线l: x联立得n, y x |mn| y x y x |y|x | |x | 分 设a c b, r,r分别为a b c和cmn外接圆的半径, 在a b c中 |a b| s i n r,所以r |a b| s i n 在cmn中 |mn| s i n() r, 所以r |mn| s i n , 分 s s r r |mn| |a b| y ( x) ( x ) y ( x) ( x ) 又y ( x ) , 所以 s s ( x ) ( x) ( x ) ( x) x 分 令tx, 而x, 所以t s s t (t) t t t t t t 分 所以t, 即x时, s s取得最小值, 最小值为 分 【 命题意图】 主要考查频率分布直方图、 古典概型、 离散型随机变量分布列、 超几何分布等知识, 考查考生 的数据处理能力、 数学建模能力和数学运算能力 【 解析】 ( )a类学生有: ( ) 人,分 b类学生有: 人,分 c类学生有: ( ) 人分 ( )abc , 故从a类中抽人,b类中抽人,c类中抽人 分 设邀请的三人中是c类的学生人数为x, 则x可取, , p(x)c c , p(x)c c c , p(x)c c c , p(x)c c 分 所以x的分布列为 x p , 所以e(x) 分 ( ) 学生随机独立参加语文或数学在线辅导所包含的基本事件总数为 ( c ) , 分 当k时, 由韦恩图可知, 只参加语文辅导的人数为k , 只参加数学辅导的人数为k , 语文和数学都参加辅导的人数为 k 分 事件 k 所包含的基本事件的总数为c c k c k , 理科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) 所以p( k) c c k c k ( c ) c k c k c 最大 分 则 p( k)p(k) , p( k)p(k) , 所以 c k c k c k c k , c k c k c k c k ( k ) ( k) ( k) , ( k) ( k)(k ) k 分 又因为kn, 所以k 分 【 命题意图】 主要考查函数的单调性和极值, 函数导数的综合应用, 考查考生的推理论证能力、 运算求解能 力、 抽象概括能力, 考查化归与转化思想和分类讨论思想 【 解析】 ( )a , f(x)x s i nx xc o sx,x(,) , f ( x) c o sx xs i nx分 令t( x) c o sx xs i nx,t (x) xc o sx分 当x , 时, t (x),t(x) 单调递减, 当x , 时, t (x),t(x) 单调递增, t(x) 的最小值为t , 所以t(x)t , 即 f ( x),分 所以f( x) 在(,) 上单调递增, 所以f(x)f() , 故f( x) 分 ( )f(x)a x( c o sx) s i nxa x s i nx c o sx 令g( x)a x s i nx c o sx, x,分 g ( x)a c o sx ( c o sx) 分 令t c o sx, h(t) t ( t) , t, ,h (t) (t) ( t) , 所以h( t) 在, 上单调递增, 所以h()h( t)h() , 即h(t) 分 当a , 即a 时, g ( x) ,g(x) 在,) 上单调递增, 所以g(x)g() 满足条件分 当a, 即a时,g a , 显然不满足条件 分 当a , 即 a 时, 若x , , g(x)a x s i nx , 令( x)a x s i nx,x , , (x)a c o sx ( a c o sx) ,a(,) , 故存在x, 使x(, x) 时, (x), 即(x) 在(,x)