2002年951信号与系统答案

四川大学2002年硕士研究生信号与系统入学考试试题参考答案一、 完成下列运算（每小题3分，共15分）1. 求【解析】：S(t)=rect(t-54)*n=-+(t-4n) =n=-+rect(t-4n-54) =1注：宽度与周期相等的周期矩形的值为一常数。2.求；【解析】：s(t)=01+3t2(t-3)dt =-06t(t-3)dt =-180(t-3)dt =-18 注：f(t)(t)dt=-f(t)(t)dt3.求的自相关函数；【解析】：s(t) FT3rect(w6) |s(jw)|2= 29rect(w6) |s(jw)|2 L FT 12.692Sa(6t2)=3Sa(3t)所以R()=3Sa(3)注：自相关函数R()与能量谱（功率谱）是一对傅氏变换关系： R() FT |s(jw)|2 LFT4.已知【解析】：S(z)= zz-13.z-1z-1-1 13|z| 14因为收敛域|z|14包含单位圆所以s(jw)=ejwe jw-14 |ejw|14注：当z变换的收敛域包含单位圆，且单位圆上无极、零点时，可以直接令z=ejw来得到离散信号的频谱。三、 求下列变换（任选5小题，每小题4分，共计20分）1.求的希尔伯特变换；【解析】：s(t)= cos100t +cos(100000t).cos100t s(t)=sin100t+sin(10000t).cos100t注：窄带希氏变换重要性质 a(t).cos(w0t)*1t=a(t)sin(w0t)W0a(t)的频率。只要对高频信号作希氏变换。2.求的拉普拉斯变换; 【解析】：s(t)=tu(t)-(t-3)u(t-3) s(t) ST 11s2 -1s2e-3s 13.已知(其中)的DFT为，求s(n)的Z变换； 【解析】：s(n)=1NK=0N-1F(k)W-kn =16k=05(k-5)e-j3kn =16e(-j53)n.u(n)-u(n-6) 所以s(z)=16zz+ej53 -16ej10z-5z+ej53 z1 注：N=6点大于34点不能用矩阵做，故改用定义解。4.已知s(t)的拉普拉斯变换求s(t)；【解析】：F(s)=As2+ Bs + Cs-2其中：A=s+2s-2|s=0= -1 B=(s+2s-2)|s=0= -1 C=s+2s2|s=2=1F（s）=-1s2 + -1s+1s-2 0 1令F1=1z-1 - z-Nz-1则s1(n)=u(n-1)-un-(N+1)S(n)=s1(n)* s1(n) =u(n-1)*u(n-1)-2u(n-1)*un-(N+1)+ un-(N+1)* un-(N+1) =(n-1)u(n-2)-2(n-N-1)u(n-N-1)+(n-2N-1)u(n-2N-2)注：关于离散u(n)的卷积公式u(n-P)*u(n-Q)=(n+1-P-Q)u(n-P-Q) 其中P、Q为正整数。7.求(其中)的Z变换。【解析】：令n2=m,则m(-,-3,-2,-1,0)m取整数。 S(n)=u(-m) S(n) ZT =z-1z-1-1=1z-1 |z|1注：该题用了变量替换法，该方法以后还会用到。四求解下列各题（任选4个小题，每小题4分，共计16分） 1、已知低频信号、的最高频率分别为，求的最大不失真抽样间隔。【解析】：S1（2t）的最高频率为：2w1S2（t2）的最高频率为：12w2S3(t)的最大不失真采样间隔：Ts=2w1+12w2=24w1+w2注：f(t)=f1(t)*f2(t) FT F1(w)F2(w) 频带为最小的那个频带宽。f(t)=f1(t).f2(t) FT 12F1(w)*F2(w)频宽为两个频宽之和。若f1(t)，f2(t)的最大频率为w1,w2且w1w2则：f(t)=f1(t)*f2(t)的最大不失真采样间隔：Ts=w1f(t)= f1(t). f2(t)的最大不失真采样间隔：Ts=w1+w22、已知因果离散线性时不变系统的传输函数，求输入时的零状态响应。【解析】：Y(z)=H(z)S( z) =3z2z-0.4（z-1） z1 =ZAz-0.4 +Bz-1 = -2zz-0.4 +5zz-1 yt(n)=-2(0.4)2u(n)+5 u(n)注：s(n)=3 就是s(n)=3 u(n) 3、假设为在(-3,3)区间内均匀分布的随机信号，试计算信号经过增益为0dB的全通网络后直流分量及交流功率。【解析】：略 不属于信号系统内，可选不做。 4、假设连续线性时不变系统初始状态不变，当输入时，全响应为，当输入时，全响应为，求输入的零状态响应。【解析】：当输入f1(t)=ej2t时y1(t)=yx1(t)+y1(t)=3ej4t 当输入 f2(t)=ej2t时y2(t)=yx2(t)+yf2(t)=3e-j4t 式-式得y1(t)- y2(t)= y1(t)- yf2(t)=3(ej4t - e-j4t) f (t)=sin2t=12j(e+j2t-e-j2t)因为该系统为连续线性系统，故满足零状态齐次性和叠加性yf(t)= 12j(ei4t - e-j4t)=3sin4t注：左线十全系统中：全响应不具备齐次性和叠加性只有零状态响应，零输入响应才具备齐次性和叠加性处：因为系统没有改变，故yx1(t)= yx2(t)5、已知信号其中和是截止频率为的低频信号，且，试设计一系统从s(t)中恢复得到和。 【解析】：图略注：相干调解实现信号还原五（任选4个小题，每小题共3.5分，共计14分） 一因果离散线性时不变系统的传输函数在Z平面上有两个一阶极点0.5和0，两个一阶零点2和1，且。求： (1)、系统的常系数差分方程； (2)、系统的单位冲激响应h(n)； (3)、判断系统的稳定性; (4)、输入 时系统的零状态响应； (5)、画出系统的模拟结构图。【解析】：1、令H(z)=K(z-2)(z-1)z(z-0.5) z0.5由H()=5得：K=5H(z)=5z2-15z+10z2-15z = Y(z)S(z)(z2-0.5z)Y(z)=5(5z2-15z+10)S(z)y(n+2)-0.5y(n+1)=5S(n+2)-15S(n+1)+10S(n)2、H(z)=5+-125z+10z(z-0.5)令H1(z)= -125z+10z(z-0.5)当n=0时，p1=0二阶条件极点 p2=0.5一阶极点当n=1时，p3=1一阶条件极点Resp1= z2 -125z+10z(z-0.5)z-1z=0=-15Resp2=(z-0.5) -125z+10z(z-0.5)zn-1z=0.5=15(0.5)nResp3=z -125z+10z(z-0.5)zz=0 =-20h(n)=-10(n) -20(n-1)+15(0.5)nu(n)3、收敛域z0.5包含单位圆故该系统为稳定系统4、Y(z)=H(z)S(z) = 5z-2z-1zz-0.5 zz-1 = 5z-2z-0.5 z1当n=0时 p1=0一阶条件极点 p2=0.5一阶条件极点Resp1=Z5(Z-2)Z-0.5Z-1Z=0=20Resp2=（Z-0.5） 5(Z-2)Z-0.5 Zn-1Z=0.5=-15(0.5)nyf(n)=20(n)- -15(0.5)nu(n)5、图略注：由于该题计算比较繁，故采用了留数法解题当n=0时的条件极点（不管此时极点的阶数）在做z反变换时乘上（n）当n=1时的条件极点（不管此时极点的阶数）在做z反变换时乘上（n-1）六、(任选5个小题，每小题4分，共20分) 有一系统如上图所示，其中的傅里叶变换分别为，和的傅里叶反变换为，求：(1) A点处的信号表达式(或图形)； (2) B点处的信号表达式(或图形)； (3) D点处的信号表达式(或图形)； (4) E点处的信号表达式(或图形)； (5) F点处的信号表达式(或图形)； (6) G点处的信号表达式(或图形)； (7)H点处的信号表达式(或图形)。【解析】：A点表达式 SA(t)= sinc(50t)cos1000tB点表达式 SB(t)= sin1000tC点表达式 SC(t)= sinc(50t)sin1000tD点表达式 SD(t)= SA(t)cos1050t = 12sinc(50t)(cos50t+cos20050t)E点表达式 SE(t)= SC(t)cos1050t = -12sinc(50t)( cos20050t- cos50t)F点表达式 SF(t)= 12sinc(100t)= 12a(50t)cos50tG点表达式 SG(t)= 12sinc(100