7.6-应变能和应变能密度

应变能应变能应变能应变能 7 7 7 7- - - -6 6 6 6 应变能和应变能密度应变能和应变能密度应变能和应变能密度应变能和应变能密度 V ： 应变能： 应变能W：外力功 不计热能、电磁能的变化 ：外力功 不计热能、电磁能的变化 A B F F wB(F) V =W 一、轴向拉压杆的应变能和应变能密度一、轴向拉压杆的应变能和应变能密度 l F F 材料处于线弹性范围材料处于线弹性范围线弹性范围线弹性范围内内 O l F F1 l1 d d ( l l ) ) ) ) d dF F F = 1 0 )d( l lFW 11 2 1 lF= lFW= 2 1 EA lF lFV 22 1 2 N N = 杆件应变能与杆件体积之比杆件应变能与杆件体积之比 应变能密度应变能密度应变能密度应变能密度 EA lF lFV 22 1 2 N N = 应变能应变能应变能应变能 V V v = 2 1 = 适用于 单向应力状态 适用于 单向应力状态单向应力状态单向应力状态 适用于 拉压杆 适用于 拉压杆拉压杆拉压杆 应变能应变能应变能应变能 是杆件参数，与杆件变形有关。 应变能密度 是杆件参数，与杆件变形有关。 应变能密度应变能密度应变能密度 与杆件无关，只与应力状态有关。与杆件无关，只与应力状态有关。 二、三向应力状态的应变能密度二、三向应力状态的应变能密度 1 1 2 2 3 3 332211 2 1 2 1 2 1 +=v 2 3 2 2 2 1 2 1 += E )(2 133221 + 应变能密度应变能密度 v v 体积改变能密度体积改变能密度 v v V V 形状改变能密度形状改变能密度 v vd d 链接链接 三向应力状态的应变能密度：三向应力状态的应变能密度： V V v d d = dx dy dz 1 1 2 2 3 3 力：力：力：力： 1dydz位移：位移：位移：位移： 1dx 力：力：力：力： 2dzdx位移：位移：位移：位移： 2dy 力：力：力：力： 3dxdy位移：位移：位移：位移： 3dz xzyWddd 2 1 d 11 = zyxddd 2 1 33 + dV= 332211 2 1 2 1 2 1 += yxzddd 2 1 22 + 返回返回 1 1 2 2 3 3 m m m m m m 1 m m 2 2 m m 3 3 m m )( 3 1 321m += 主应力主应力主应力主应力相同主应变相同主应变主应变主应变相同相同单元体形状不改变单元体形状不改变形状不改变形状不改变 主应力之和主应力之和主应力之和主应力之和不为零单元体体积改变不为零单元体体积改变体积改变体积改变 主应力之和主应力之和主应力之和主应力之和为零单元体体积不改变为零单元体体积不改变体积不改变体积不改变 但单元体形状改变但单元体形状改变形状改变形状改变 体积改变形状改变体积改变形状改变 体积改变能密度：体积改变能密度： 1 1 2 2 3 3 m m m m m m 1 1 m m 2 2 m m 3 3 m m 体积改变形状改变体积改变形状改变 2 321 )( 6 21 + = E mm 2 1 3= V v mm 21 2 3 E = 形状改变能密度：形状改变能密度： 1 1 2 2 3 3 m m m m m m 1 1 m m 2 2 m m 3 3 m m 体积改变形状改变体积改变形状改变 2 21 )( 6 1 + = E V vvv= d )()( 2 13 2 32 + 单向应力状态：单向应力状态： 1，20，30 2 1 =v 应变能密度：应变能密度：应变能密度：应变能密度： 体积改变能密度：体积改变能密度：体积改变能密度：体积改变能密度