控制工程,第四章

.,第四章频域分析,第一节频率特性的概述,频域分析是经典控制理论中的主要方法之一，将传递函数从复数域，引到具有明确物理概念的频域来分析系统是极为有效的。频域分析特点下：1、该方法是通过分析系统对不同频率谐波输入的稳态响应来获得系统的动态特性；2、频率响应具有明确的物理意义，并且可以,用实验的方法获得；3、便于研究系统结构参数变化，对系统性能的影响；4、不需要解闭环特征方程，利用奈氏判据，可以根据系统的开环频率特性研究闭环系统的稳定性。一、频率特性频率响应是指线性系统（或元件）对正统或余弦）输入信号的稳态响应。,线性定常系统在谐波信号作用，输出亦为同一频率的谐波信号，只是幅值和相位发生了变化。,设输入为，稳态响应为,1、输出信号与输入信号的幅值比是的非线性函数，称为系统的幅频特性，记为。,3、幅频特性和相频特性总称为系统的频率特性，记作：或。故，频率特性定义为的复变函数，其幅值为，相位为。,2、输出信号与输入信号的相位差也是的非线性函，称为系统的相频特性，记为。,二、频率特性的求法1、利用频率特性的定义来求取：,例1：已知系统的传递函数：，求其频率特性。解：,由上式可知：,（1）后一项是瞬态响应，随时间的推移而衰减到零。,（2）前一项为稳态响应，当时，系统的输出即可视为稳态响应。,故频率特性：,或,2、将传递函数中，s换为来求取：,例2：用方法2求解例1。解：,系统的稳态输出：,当实际控制系统的结构很复杂，难以通过解析方法建立其数学模型。只有通过试验方法才能求得频率特性。具体步骤：（1）改变输入谐波信号的频率，测出输出幅值与相移；,3、用试验方法求取,（2）作出幅值比对频率的函数曲线，此即幅频率特性曲线；（3）作出相移对频率的函数曲线，此即相频特性曲线。,一、频率特性极坐标图表示频率特性的极坐标图又称Nyquist图，也称幅相频率特性图。,第二节频率特性极坐标图(Nyquist),极坐标图是当由零变化到无穷大时，矢量极坐标系统上端点的轨迹。,注意：在极坐标图上，正（或负）相角是从正实轴开始，以反时针旋转（或顺时针旋转）来定义的；在极坐标图上，G(jw)在实轴和虚轴上的投影是它的实部和虚部；它不仅表示了实频特性和虚频特性，而且也表示了幅频性和相频特性。,二、典型环节的极坐标图一般系统都是由典型环节组成，熟悉典型环节的频率特性，对了解系统的频率特性和分析系统的动态特性带来很大的方便。1、比例环节,2、积分环节,显然，实频特性为0，虚频特性为。,3、微分环节,显然，实频特性恒为0；虚频特性为。,4、惯性环节,根据上述实频和虚频特性两式，可分别求得不同频率值的实部和虚部，从而作出Nyquist图。可以证明，频率特性曲线为一半圆。,有时，,5、一阶微分环节（或导前环节）：,6、振荡环节：,幅频特性：,相频特性：,可见：(1)阻尼比取不同，Nyquist图的形状也不同。(2)阻尼比较小时，幅频特性将出现谐振峰值。,进而求得谐振峰值：,7、延时环节：,幅值特性：,相频特性：,例：已知传递函数理化，试作频率特性图。,解：,(1)作出无滞后的惯性环节的频率特性的曲线；,(2)考虑延时环节频率特性的影响,仅使系统频率特性的相位增加,而幅值不变，即,即：,三、一般系统的极坐标图,绘制Nyquist图的一般形状和方法，其绘制Nyquist图的一般步骤如下：,1、用代入传递函数G（S）得，求出实频特性、虚频特性、幅频特性和相频特性的表达式；,例1：已知系统的传递函数，试绘制其Nyquist图。,、求出与坐标轴的交点；,、求出起点或起点渐近线；,、求出终点位置。,解：系统的频率特性为：,当,实频特性：,虚频特性：,一、概述(一)对数坐标图的优点：1、将串联环节幅值的乘除化为加减，便于作图；2、用分段渐近线的方法作图，用修正曲线修正，大大简化作图过程；3、分别作出各环节的Bode图，再用叠加法作图；,第三节频率特性的对数坐标图,4、采用对数坐标可以在图纸上扩大频率范围，高低频都可以保证。二、对数坐标图的组成：,特点：横坐标是对数分度，纵坐标为线性分度,1、对数幅频特性图：,2、对数相频特性图：,三、典型环节的对数坐标图1、比例环节：G(s)=K,2、积分环节：,幅频特性：,相频特性：,3、微分环节：,对数相频特性为：,对数幅频特性为：,4、惯性环节：,则幅频特性：,相频特性：,讨论：,当时,当时,当时,5、一阶微分环节：,幅频特性,相频特性,讨论：,当时,当时,当时,6、振荡环节：,幅频特性：,对数幅频特性：,幅频特性：,当,时,相频特性随着频率增加而线性增加。,8、延时环节：,幅频特性：,相频特性：,对数幅频特性为：,四、控制系统极坐标图绘制系绘制极坐标图的一般步骤如下：1、由传递函数求出频率特性传递函数G(jw)；2、将G(jw)转化为若干典型环节的频率特性相乘（或相除）的形式；3、找出各典型环节的转角频率；4、作出各环节的对数幅频特性的渐近线；,5、根据误差修正曲线对渐近线进行修正，得出各环节的对数幅频特性的精确曲线；6、将各环节的对数幅频特性迭加（不包括系统总的增益K）；7、将迭加后的曲线移动20lgK，得到系统的对数幅频特性；8、作各环节的对数相频特性，然后迭加而得到系统的对数相频特性；9、有延时环节时，对数幅频特性不变，对数相频特性则应加上-。,例：作传递函数为的系统的Bode图。,解：,首先，将各环节化为标准形式：,可见系统由一比例环节、一阶微分环节、两个惯性环节串联构成。,第三，各环节的转折频率为：,其次，系统的频率特性：,一、开闭环频率特性的几何关系本节讨论如何由系统的开环频率特性，得到系统的闭环频率特性的问题。设有开环传递函数的单位反馈系统，则闭环传递函数,第四节闭环系统频率特性,如图有：,二、最小相位系统与非最小相位系统,1、最小相位传递函数若系统传递函数G(s)的所有零点和极点均在s平面的左半平面，则称G(s)为“最小相位传递函数”。相应系统称为“最小相位系统”。2、非最小相位传递函数若G(s)有零点或极点在s平面的右半平面，则称其为“非最小相位系统”。,3、产生非最小相位的一些环节,(2)导前环节：,(3)二阶微分环节：,(4)不稳定的惯性环节：,(5)不稳定的振荡环节：,(1)延时环节：,本章小结,一、基本要求1、掌握频率特性的定义及其求法；2、掌握频率特性的极坐标图（Nyquist图）和对数坐标图（Bode图）的组成原理，熟悉典型环节两种图形的特点，掌握一般控制系统两种频率特性图的绘制；3、了解闭环频率特性与开环频率特性之间的关系；,4、了解最小相位系统与非最小相位系统的概念；二、本章重点1、频率特性的基本概念、代数表示及其求解；2、频率特性图示法的原理，典型环节的图示法及其特点，一般控制系统频率特性的Nyquist图与Bode图的绘制；3、频域中的性能指标。,三、本章难点1、一般控制系统频率特性图的画法及对图形的分析；2、频域性能指标和时域性能指标之间的基本关系。,例题,例1已知单位负反馈系统的开环传递函数为,当系统输入信号为时，试求系统的稳态输出。,解：系统的闭环传递函数为,所以，系统的稳态响应为,解：1、绘制系统的Nyquist图：,当时，,求坐标轴的交点：,解得：,当时，,即,故系统的Nyquist图,2、绘制系统的Bode图,系统由积分环节，两个一阶惯性环节构成,转折频率为